Matemática - Derivada

por Victória Tavares Sáb 26 Set 2020, 15:39

Seja a função real de variável real, definida por f(x) = (x^3 - x^2)^1/3. Podemos afirmar que:

a) f é derivável para qualquer x e R*
b) f é crescente para qualquer x e R+
c) f é positiva para qualquer x e R+ e (1, f(1)) é o ponto de inflexão
d) a reta 3y - 3x + 1 = 0 é uma assíntota do gráfico da f e (0, f(0)) é o ponto de máximo local.
e) f é derivável para qualquer x e R* - {1} e 3y - 3x - 1 = 0 é uma assíntota do gráfico da f

Gab: d.

Alguém poderia me explicar a letra a detalhadamente?

por **Emanuel Dias** Sáb 26 Set 2020, 16:29

Olá Victória.

Vamos derivar a função e descobrir se existem valores para qual ela não existe.

Derivando encontramos o valor acima, agora, existe x tal que essa derivada não existe? Claro, são os valores para qual o denominador vai para 0.

Claramente, 0 é um valor para qual temos uma indeterminação, então, a derivada não existe no ponto x=0. O motivo geométrico é porque a função apresenta um bico, esse bico faz com que o limite da derivada tenha limites laterais diferentes, portanto, se o limite não existe, a derivada não existe.

1 também claramente leva a uma indeterminação (faça o cálculo).

O motivo geométrico aqui é diferente. Nesse caso, a função cresce rapidamente, de modo que a tangente não existe, se não existe, também não há derivada.

Abaixo, o gráfico.

É isso, qualquer dúvida avisa que tento ajudar. cheers

por **Elcioschin** Sáb 26 Set 2020, 16:38

Vitória

Vc postou a questão de derivada em local errado (Física).
Por favor, tome mais cuidado nas postagens.

por Victória Tavares Sáb 26 Set 2020, 17:21

Desculpa, Elcioschin. Eu realmente não percebi. Tomarei mais cuidado

por Victória Tavares Sáb 26 Set 2020, 17:24

Então, sempre que houver uma restrição no domínio pode-se dizer que a função não é derivável, tipo, sem usar os limites laterais ou tem que confirmar usando-os?

Obrigada mesmo pela resolução.

por **Emanuel Dias** Sáb 26 Set 2020, 17:32

Victória Tavares escreveu:Então, sempre que houver uma restrição no domínio pode-se dizer que a função não é derivável, tipo, sem usar os limites laterais ou tem que confirmar usando-os?

Obrigada mesmo pela resolução.

Depende. De que domínio estamos falando?

Se for o domínio da função, não, não podemos dizer nada a respeito da diferenciabilidade. Agora, se estamos falando do domínio da função derivada, ai sim, se existem restrições no domínio, significa que nesses pontos não há derivada, por consequência o limite não existe, ai pode ser por um dos dois motivos, para saber qual tem que aplicar a definição intuitiva.