Quadrados analítica

Inicialmente temos os dois pontos isolados. Lembre-se que a reta que une os dois é diagonal do quadrado, então:


[latex]m=\frac{6}{2}=3[/latex] é a declividade da diagonal. Então, a reta que une os dois pontos tem como equação  [latex]y-7=3(x-5)\Rightarrow y=3x-8[/latex]  (Aqui, foi usado a equação y-y0=m(x-x0) 


Agora, os dois pontos que forma o quadrado tem as seguintes propriedades:


  - Equidistam dos dois pontos já conhecidos.
  - Pertencem a segunda perpendicular do quadrado.



Vamos usar a primeira informação, seja (x,y) as coordenadas desses vértices que equidistam dos outros 2:

[latex]\\(x-3)^2+(y-1)^2=(x-5)^2+(y-7)^2[/latex]  (Simplifique isso e obterá a reta roxa) (Aqui foi usado a equação da distância entre dois pontos)





Até agora temos isso. Há mais de um caminho para finalizar isso.


Um delas é saber que as diagonais de um quadrado se cortam ao meio. Vamos usar essa propriedade da seguinte maneira:


Temos as coordenadas de B e A, então o ponto onde as diagonais se cortam é  [latex]x=\frac{5+3}{2},\, \, \, y=\frac{7+1}{2}=4[/latex]  (Aqui foi usado a fórmula dadivisão de segmentos)






Agora, temos o ponto C.


Por fim, sabemos que os dois vértices pertence a essa reta e equidistam de C.

Vamos calcular a o comprimento da diagonal: [latex]D=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}[/latex] (Aqui foi usada a fórmula da distância entre dois pontos)



Agora, temos a distância entre os dois vértices desconhecidos, pois as duas diagonais do quarado tem mesmo comprimento.


Vamos equacionar em função de C, sabemos que a distância do vértice (x,y) até C é [latex]\frac{\sqrt{40}}{2}[/latex] (Metade da diagonal)


[latex]10=(x-4)^2+(y-4)^2 [/latex]  (Equação da distância entre dois pontos)


Portanto, os dois vértices do quadrado está tanto nessa circunferência acima, quanto na reta da diagonal. Fazendo a intersecção obtemos (1,5) e (7,3).





Nota: A circunferência de centro C é a circunferência inscrita no quadrado.


Recapitulando:


Foram dados dois vértices opostos do quadrado. Com esses dois pontos podemos calcular a distância, essa distância é a distância da diagonal do quadrado, a reta suporte da segunda diagonal contém os outros dois vértices.
O ponto médio de (3,1) (5,7) é a intersecção das diagonais.
Ambos os dois outros vértices equidistam desse centro. Equacionando, temos uma circunferência. Os dois vértices pertencem tanto a essa circunferência quanto a reta suporte da diagonal, resolvendo o sistema chegamos a reposta.