Área interna de triangulo externo a circunferencia

ops! onde escrevi  ∆AOB leia-se  ∆AOP.

A resposta do Medeiros é bem melhor, mas, como já escrevi, vou postar

A equação dessas retas tangentes é:

y-0 = m*(x - 4)
mx - y - 4m = 0

A distância do centro (0,0) do círculo às retas tangentes que passam por P = (4,0)  é igual ao raio r = √12 = 2√3

Distancia de um ponto a reta:
|m(0) - (0) - 4m|/√(m² + 1) = 2√3 .:. |-4m| = 2√3*√(m²+1) = √(12*(m²+1)) .:. elevando ao quadrado .:. 16m² = 12m² + 12 .:. 4m² = 12 .:. m = +/- √3

Assim as retas são:
t1: -√3*x - y + 4√3 = 0
t2: √3*x - y - 4√3 = 0 


Como os pontos A e B pertencem à x = 0, bastar substituir em t1 e t2 e teremos suas coordenadas

A = (0,4√3) e B = (0, -4√3)

Agora, com A, B e P tem-se que a base do triângulo PAB = 8√3 e a altura é 4. Logo a área do triangulo PAB = 8√3*4/2= 16√3 (I)

Metade da área desse círculo é π*r² = π*12/2 = 6π (II)

A área desejada é (I) - (II) = 16√3 - 6π (D)

Medeiros escreveu:

ops! onde escrevi  ∆AOB leia-se  ∆AOP.

Até a segunda linha quando vc monta o pitagoras eu entendi. A 3 linha eu n entendi de onde veio

falha minha por ter sido muito sintético.

Usei as duas formas de se obter a área do triângulo com os dados em tela, lembrando que R é a altura do triângulo tomando-se a hipotenusa como base.

área do triângulo AOP ---> S = OP•OA/2 = R•AP/2  ---->  4•a = R•AP

e na sequência da mesma terceira linha eu elevei ao quadrado e já substitui pela primeira e segunda linhas.


se houver mais dúvidas, pergunte.