Inequação

Os 9 valores de x são: -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8 - 7

Restrições: Os radicando não podem ser negativos

10 - x ≥ 0 ---> x ≤ 10

15 + x ≥ 0 ---> x ≥ -15

No intervalo 0 ≤ x ≤ 10 o 2º radicando vai ser sempre maior que o 1º radicando e com isto o 1º membro vai ser negativo ---> Não atende

Logo, só valem valores negativos de x

Para x = -6 ---> √[10 - (-6)] - √(-6 + 9) = 4 - 3 = 1 ---> Não serve

Logo o intervalo válido é [-7, -15]
.

temos:

[latex]\sqrt{10-x}-\sqrt{x+15}>1[/latex]

Fazendo a condição de existência:

[latex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{10-x}\geq 0\Rightarrow x\leq 10\\ \sqrt{x+15}\geq 0\Rightarrow x\geq -15 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\: \epsilon \: \left [ -15,10 \right ][/latex]

Logo,

[latex]\sqrt{10-x}-\sqrt{x+15}>1; \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,10 \right ][/latex]

[latex]\sqrt{10-x}>1+\sqrt{x+15}; \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,10 \right ][/latex]

[latex]10-x>1+2\sqrt{x+15}+(x+15); \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,10 \right ][/latex]

[latex]-6-2x>2\sqrt{x+15}; \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,10 \right ][/latex]

[latex]-3-x>\sqrt{x+15}; \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,10 \right ][/latex]

Para x > -3, a equação é um absurdo. Logo,

[latex]-3-x>\sqrt{x+15}; \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,-3 \right ][/latex]

[latex]x^2+6x+9>x+15; \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,-3 \right ][/latex]

[latex]x^2+5x-6>0; \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,-3 \right ][/latex]

[latex]x\: \epsilon \: (-\infty ,-6) \cup (1,+\infty ); \forall x\: \epsilon \: \left [ -15,-3 \right ][/latex]

[latex] x\: \epsilon \: \left [ -15,6 \right )[/latex]

Portanto,

[latex] x\: \epsilon \:\left \{ -15,-14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7 \right \}[/latex]