número de intersecções

por **Emanuel Dias** Ter 30 Jun 2020, 07:09

São dados, no plano, n pontos tais que entre as retas por eles determinadas não há duas retas paralelas. Quantos são, no máximo, os pontos de intersecção dessas retas que são distintos dos pontos dados?

Gabarito: n(n-1)(n-2)(n-3)/8

por **Ashitaka** Qui 09 Jul 2020, 19:35

Emanuel Dias escreveu:
São dados, no plano, n pontos tais que entre as retas por eles determinadas não há duas retas paralelas. Quantos são, no máximo, os pontos de intersecção dessas retas que são distintos dos pontos dados?

Gabarito: n(n-1)(n-2)(n-3)/8

Note que a cada 4 dos n pontos, ter-se-á 3 pontos de intersecção de retas possíveis e distintos dos pontos dados.
Por exemplo, sejam os pontos A, B, C e D. Tem-se os cruzamentos das retas
AB com CD
AC com BD
AD com BC

É possível pensar que esses 4 pontos formam um quadrilátero. Assim, há [latex]C_n^4[/latex] quadriláteros que podem ser montados usando n pontos. Cada um fornece 3 pontos da espécie procurada. Logo, a resposta é
[latex]\boxed{3C_n^4=\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{8}}[/latex]

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