planos e intersecções

Sejam p1(-1,0,1) q1(0,2,4) p2( 0,1,0) q2 (2,4,1) p3(5,4,3) q3 (2,-1,-1) pontos no espaço.O plano P é paralelo aos vetores p1q1,p2q2,,p3q3 (verifique que esses sao coplanares) e passa pelo ponto (0,1,0).O vetor (1,-1,5) é um vetor diretor da reta R que passa pelo ponto (0,1,5).O plano p' contém a reta R e o ponto (2,2,10).Mostre que a intersecção dos planos P e P' é uma reta  e procure uma descrição paramétrica dessa reta.


não ha resposta

A(-1,0,1), B(0,2,4), C( 0,1,0), D(2,4,1), E(5,4,3), F(2,-1,-1)
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AB = (1,2,3)      CD = (2,3,1)        EF = (-3,-5,-4)

Se o produto misto de AB,CD e EF for igual a zero, eles são coplanares
(AB,CD,EF) = 0  --> são coplanares

Para encontrar o vetor normal ao plano que possui os vetores AB,CD e EF, devemos fazer o produto vetorial entre AB e CD
ABxCD = ( -7 , 5 , -1 ) = n1

O plano será algo próximo de
-7x +5y -z + d = 0
Utilizando um ponto conhecido (-1,0,1)
7 - 1 + d = 0
d = -6
: 7x -5y + z + 6 = 0
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v1 = (1,-1,5),    P1(0,1,5),    P2(2,2,10),    v2 = P1P2 = (2,1,5)

Vetor normal ao plano será determinado fazendo o produto vetorial entre v1 e v2

v1xv2 = ( -10,5,3 ) = n2

O plano será algo próximo de
-10x + 5y + 3z +d = 0
Utilizando um ponto do plano, P1(0,1,5)
5 +15 + d = 0
d = -20

: 10x - 5y - 3z +20 = 0
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Para determinar um ponto da reta, devemos fazer x = 0 nas equações do plano
-5y + z = -6
-5y - 3z = -20
Resolvendo o sistema
z = 7/2    e   y = 19/10 --->  W( 0, 19/10, 7/2)
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A intersecção dos plano é dado pelo produto vetorial do vetor normal à cada plano, resultando assim o vetor direto da reta

n1xn2 = (20,31,15) ---> finalmente, esse é o vetor diretor da reta r
   
    x = 20t
r : y = 19/10 + 31t
    z = 15 + (7/2)t

Confira as contas...

Um abraço!