Potencial

Vários elétrons que no infinito possuem velocidade v incidem sobre certa esfera metálica isolada de raio R. Determine a elevação da temperatura da esfera se a capacidade térmica da mesma é C.
Considere m=massa do elétron. -e= carga do elétron. Eo= permissividade elétrica. Gab: pi*Eo *(m^2*v^4)* R/2e^2 *C

Olá,

Vamos calcular a energia própria da esfera, na situação final:

[latex]dE=\frac{KQdQ}{R}\Rightarrow E_{auto}= \int \frac{KQdQ}{R} = \frac{KQ^2}{2R}[/latex]

Perceba que, após N colisões, temos Q = N*e. Ora, na situação final, para o último elétron encontramos: W_fel = ∆Ec

[latex]U*e = \frac{mv^2}{2}\therefore \frac{KNe^2}{R} = \frac{mv^2}{2}\therefore N =\frac{mv^2R}{2Ke^2}[/latex]

Veja, a energia "E" que de fato é utilizada para aquecer a esfera é dada pela diferença  N*mv²/2 - E_auto = E.

Logo: [latex]E = \frac{N*mv^2}{2} - \frac{KN^2e^2}{2R}  =\frac{mv^2R}{2Ke^2}*\frac{mv^2}{2} - \frac{Ke^2}{2R}*\frac{m^2v^4R^2}{4K^2e^4}\therefore E = \frac{m^2v^4R}{8Ke^2}[/latex]

Assim, como E = C∆T, a resposta fica:

[latex]\Delta T = \frac{m^2v^4R}{8KCe^2} = \frac{\pi \varepsilon m^2v^4R}{2Ce^2}[/latex].

Excelente resolução Vitor!