OBM 2001 N3
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OBM 2001 N3
por Russell99 Qua 24 Jun 2020, 11:52
São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). Qual a soma de todos estes números ?
gabarito:6882
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Russell99- Iniciante
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Re: OBM 2001 N3
por Elcioschin Qua 24 Jun 2020, 12:27
No intervalo [1, 99] ---> 11 ---> 1 possibilidade
No intervalo [100, 199] ---> 18 possibilidades
101, 110, 112, 121, 113, 131, 114, 141, 115, 151, 116, 161, 117, 171, 118, 181, 119, 191
Podemos separar em três grupos:
I) 101 + 110 = 211
II) 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119 ---> PA com razão r = 1 e n = 8
S = (112 + 119).8/2 ---> S = 924
III) 121, 131, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191 ---> PA com razão r' = 10 e n' = 9
S' = (121 + 191).9/2 ---> S' = 1404
Similar para os intervalos [200, 299], [300, 399], ...., [900, 999]
.
No intervalo [100, 199] ---> 18 possibilidades
101, 110, 112, 121, 113, 131, 114, 141, 115, 151, 116, 161, 117, 171, 118, 181, 119, 191
Podemos separar em três grupos:
I) 101 + 110 = 211
II) 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119 ---> PA com razão r = 1 e n = 8
S = (112 + 119).8/2 ---> S = 924
III) 121, 131, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191 ---> PA com razão r' = 10 e n' = 9
S' = (121 + 191).9/2 ---> S' = 1404
Similar para os intervalos [200, 299], [300, 399], ...., [900, 999]
.
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: OBM 2001 N3
por Lucius Draco Qua 24 Jun 2020, 12:34
i)Os números podem se organizar de 3 formas diferentes.
_11 , 1_1 ou 11_ .
Logo,
S =(011 +111 + 211 + ... + 911) + (101 + 111 + 121 + ... + 191) + (110 + 111 + 112 + ... + 119)
S =(011 + 211 + ... + 911) + (101 + 121 + ... + 191) + (110 + 112 + ... + 119)
S = (011 + 111 + 211 + ... + 911) + (101 + 111 + 121 + ... + 191) + (110 + 111 + 112 + ... + 119) - 333
S = (4500 + 100 + 10) + (1000 + 450 + 10) + (1000 + 100 + 45) - 333
S = 4610 + 1460 + 1145 - 333 = 6882
_11 , 1_1 ou 11_ .
Logo,
S =(011 +
S =(011 + 211 + ... + 911) + (101 + 121 + ... + 191) + (110 + 112 + ... + 119)
S = (011 + 111 + 211 + ... + 911) + (101 + 111 + 121 + ... + 191) + (110 + 111 + 112 + ... + 119) - 333
S = (4500 + 100 + 10) + (1000 + 450 + 10) + (1000 + 100 + 45) - 333
S = 4610 + 1460 + 1145 - 333 = 6882
Lucius Draco- Jedi
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