Ime 2001

Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comumDetermine o número de voluntários e integrantes de uma patrulha.

Poderiamos usar grafos para determinar, estou com uma ideia. Mas talvez não seja uma matéria que tenhas visto, então vou pegar a ideia,  e não ir direto aos calculos.
Digamos que cada patrulha tenha n homens. Então, teremos que o número de voluntários será 11 n / 2.
Como não existe "meio homem", então devemos obrigatoriamente ter que n é par(ou multiplo de 2).

Vamos então, para começarmos a brincar, supor que cada patrulha tem 2 homens. Então, se colocarmos cada homem como uma aresta, e uma patrulha como um vértice, então teremos:

Onde A, B, C, D, E, ..., K são as patrulhas, e a, b, c, d, ..., k são os voluntários.

Agora, temos um problema: Não podemos ligar por exemplo uma aresta de A até B. Mas, podemos ligar A a C, ou A até J por exemplo. Vamos nos restringir neste passo, a ligar por uma distância de 2. Isto é, ligar AJ, AC, BK, BD...

Agora, ligando por uma distância de 3:

Agora, por uma distância de 4:

E continuando, temos:

Até agora já foram todos, então, é somente contar o número de arestas da imagem abaixo:

Ou também contar o número de arestas que saem de cada vértice, que são 10.
Logo, cada patrulha tem 10 voluntários, e o total de voluntários são 55.


Uma maneira mais rapida se já conhecermos o raciocinio seria pegar um dos 11 vértices, e verificar que ele se liga a outros 10 vértices. Então como cada aresta é 1 voluntário, cada patrulha tem 10 voluntários. O que implica um total de 55 voluntários.



Se alguém postar uma outra resolução, agradeço também. Contagem não é uma área que sou bom... ainda

para facilitar a geométrica, após construir a figura, basta notar que o número X de alunos é igual ao número de diagonais somado ao número de lados, logo X = n(n-3)/2 + n -> para n = 11, X = 11*8/2+11 = 55. Ademais, a partir de um vértice podemos traçar n-1 linhas a outros vértices (sendo n o número de vértices), logo para n = 11 temos n-1 = 10 ligações por vértice, i.é, 10 homens por patrulha.

solução alternativa à geométrica (a essência é a mesma, mas não há necessidade de figura),

Sendo Px = patrulha X,

homem 1 -> P1, P2
homem 2 -> P1, P3
...
homem 10 -> P1, P11
homem 11 -> P2, P1
...
homem N -> P11, P10

nota-se que a patrulha 1 vai do homem 1 ao 10, logo temos 10 homens por patrulha.

Percebe-se também que cada uma das 11 patrulhas são contadas 10 vezes, porém o par (P1, P2) corresponde ao mesmo homem do par (P2, P1), logo, sendo X o número de homens,
X = N/2 = 11 * 10 / 2 = 55.

Outra forma é perceber que o número de voluntários é dado por:



Visto que cada homem pode escolher duas patrulhas de 11 e que todos escolhem de maneiras diferentes.

Sendo n o número de homens em cada patrulha, pode-se afirmar que:



Isso é válido, pois ao fazer 55.2 estaria contando o número de homens duas vezes. Da mesma forma, ao fazer 11.n estaria calculando o número de homens duas vezes, visto que cada homem fica em duas patrulhas.