Polinômios - PMDF 2007 - Banca CESPE/CEBRASPE

por Igor.rl Ter 23 Jun 2020, 12:01

Olá, gostaria de ajuda na resolução da seguinte questão.

Considerando, no sistema de coordenadas cartesianas xOy, os polinômios P(x) = x3 + x2 + 5x - 1, Q(x) = x3 + 4x + 1 e R(x) = P(x) - Q(x), julgue os seguintes itens.

I) Se α, β e γ são as raízes de Q(x), então α2 + β2 + γ2 = − 8, o que é suficiente para garantir que a equação Q(x) = 0 tenha uma única solução real.

II) Existem números reais a < 0 e b > 0, tais que P(x) < Q(x) para todo x no intervalo a < x < b, e P(x) > Q(x) para todo x, tal que x < a ou x > b

Gabarito:

por **Elcioschin** Ter 23 Jun 2020, 14:29

Vou começar:

P(x) = x³ + x² + 5.x - 1
Q(x) = x³ + 4.x + 1
R(x) = P(x) - Q(x) ---> R(x) = x² + x - 2 ---> Raízes x' = -2 e x" = 1

Q(x) = 0 --> x³ + 4.x + 1 = 0 ---> Relações de Girard para raízes α, β e γ:

α + β + γ = 0 ---> I

α.β + α.γ + β.γ = 4 ---> II

α.β.γ = - 1 ---> III

(α + β + γ)² = α² + β² + γ² + 2.(α.β + α.γ + β.γ)

0² = α² + β² + γ² + 2.(4) ---> α² + β² + γ² = - 8

Só existe uma possibilidade de que a soma três números elevados ao quadrado seja negativa: dois deles devem ser complexos conjugados.

Tente completar

por Igor.rl Qua 24 Jun 2020, 11:14

Obrigado pela entendimento na questão Elcioschin. Ao igualar P(x)=Q(X) encontra-se dois pontos de interseção, a saber: P1(1;6) e P2(-2;15). Como posso saber que esses pontos satisfazem o que item II afirma? Somente pelo esboço gráfico mesmo? Esse é o caminho mais rápido/fácil?

por **Elcioschin** Qui 25 Jun 2020, 12:13

1) P(x) < Q(x) ---> x³ + x² + 5.x - 1 < x³ + 4.x + 1 ---> x² + x - 2 < 0

A função acima é uma parábola com concavidade voltada para cima e raízes x' = -2 e x" = 1
Ela é negativa entre as raízes ---> - 2 < x < 1 ---> a = -2 e b = 1 ---> OK

2) P(x) > Q(x) ---> x³ + x² + 5.x - 1 > x³ + 4.x + 1 ---> x² + x - 2 > 0

Idem ---> x < -2 ou x > 1 ---> OK