Matemática - Trigonometria - simplificação de expressõe

Sendo a.sen(x) = b.cos(x) = (c.2tgx)/(1-tg²x), mostre que (a² - b²)² = 4.c².(a² + b²).
Infelizmente, não possuo o gabarito desta questão. Ficarei muito grato se alguém puder me esclarecer a resolução.

a.senx = b.cosx ---> tgx = b/a ---> 

senx/cosx = b/a ---> sen²x/cos²x = b²/a² ---> sen²x/(1 - sen²x) = b²/a² --->

a².sen²x = b² - b².sen²x ---> sen²x.(a² + b²) = b² ---> sen²x = b²/(a² + b²)

senx = b/√(a² + b²)

cos²x = 1 - sen²x ---> cos²x = a²/(a² + b²) ---> cosx = a/√(a² + b²)

a.senx = b.cosx = c.2.(b/a)/(1 - b²/a²) ---> a.senx = b.cosx = 2.a.b.c/(a² - b²)

Tente completar

Muito obrigado, Mestre Elcioschin. Consegui completar sem mais problemas. Agradeço pela ajuda. Boa noite.

Então mostre o passo-a-passo da sua solução, para que outros usuários aprendam contigo!

Com prazer! Darei continuidade a partir do ponto em que o Elcioschin parou para não ficar repetitivo:

Conforme já demonstrado: sen²x = b²/(a² + b²)
a.senx = b.cosx = 2.a.b.c/(a² - b²) Podemos elevar os dois lados ao quadrado: (a.senx)² = [2.a.b.c/(a² - b²)]²
a².sen²x = 4.a².b².c²/(a² - b²)² <=>
a².[b²/(a² + b²)] = 4.a².b².c²/(a² - b²)² Realizamos as simplificações possíveis nos dois membros e multiplicamos os meios pelos extremos, resultando em:
(a² - b²)² = 4.c².(a² + b²)² .
Espero que tenha ficado claro meu desenvolvimento. Agradeço novamente pela ajuda.

Excelente! Você acaba de se tornar um professor!