Distância para o lado maior

por auaurafazi Ter 19 maio 2020, 20:19

Seja o triângulo isósceles com lados iguais de 5cm e um lado de 6cm. O ponto P, interior ao triângulo dista dos lados iguais 1 e 2cm, então sua distância para o lado maior será:

a) 3,5cm
b) 0,5cm
c) 1,5cm
d) 2,4cm
e) 1,0cm

Alguém pode ajudar nessa questão, por favor?

por **Medeiros** Ter 19 maio 2020, 21:42

por **Elcioschin** Ter 19 maio 2020, 21:43

Seja ABC o triângulo com AB = AC = 5 e BC = 6

Seja H a altura de ABC: H² = 5² - (6/2)² ---> H = 4

S(ABC) = BC.H/2 = 6.4/2 ---> S(ABC) = 12

S(APB) + S(APC) + SB^PC = S(ABC)

5.1/2 + 5.2/2 + 6.x/2 = 12 ---> x = 1,5

por Hyoga Qua 20 maio 2020, 02:51

Mestres, devido a simetria da figura, faz sentido o ponto P estar distante 1 e 2cm dos lados??? Pq se a altura do triângulo todo passa necessariamente por este ponto, a distância dele até os lados de 5cm não deveriam ser iguais?

por **Elcioschin** Qua 20 maio 2020, 09:54

Não existe simetria, pois o ponto P não está sobre a mediatriz e altura AH

Uma imagem, em escala:

por Hyoga Qua 20 maio 2020, 11:15

Elcioschin escreveu:Não existe simetria, pois o ponto P não está sobre a mediatriz e altura AH

Simmm, eu fiz isso, ao ver a figura ali me causou essa falsa impressão haha, mas entendi perfeitamente a solução

Thx!

por **Medeiros** Qua 20 maio 2020, 12:57

Élcio

quanto à curiosidade, por que dizes BÂP = BÂC/3 ?

por **Elcioschin** Qua 20 maio 2020, 14:15

Quando eu desenvolvi no papel, em escala, eu notei visualmente e fiz uma proporcionalidade entre as alturas 1 e 2

Com isto A^BP/1 = A^CP/2 ---> A^CP = 2.A^BP

A^BP + A^CP = BÂC --> A^BP + 2.A^BP = BÂC ---> A^BP = BÂC/3

E notei também que as áreas de ABP e ACP estão na mesma proporção:
S(ACP) = 2.S(ABP)

Mas não demonstrei. Quem sabe você pode ajudar a desvendar isto!

por **Medeiros** Qua 20 maio 2020, 16:36

A segunda linha está parecendo aplicação da lei dos senos, sem o seno, em triângulos diferentes.

quanto às áreas, elas têm uma proporção mas não se pode estender aos demais elementos (segmentos, angulos) porque não são triângulos semelhantes.

Fiz umas contas rascunhadas (muito rapidamente) e concluí que o segmento AP divide o ângulo Â do triâng. ABC em dois de aproximadamente 23° e 51°.
Se for de interesse, depois refaço e posto.

por **Elcioschin** Qua 20 maio 2020, 16:40

Então esta curiosidade que eu postei não é verdadeira.
Vou editar, retirando, mas é importante ressaltar que esta informação não foi utilizada na solução.