Zona e setor esféricos

FME, Vol. 10, questão 1139: Numa esfera de 1 m de raio, uma zona de 1 m² serve de base a um setor esférico. Determine o volume do setor.

Resposta: 1/3 m³

Fórmula do volume do setor esférico: V = (2πR²h)/3
Fórmula da área da zona esférica: A = 2πRs (s é a altura da zona)

Pela fórmula, achei a altura da zona esférica igual a 1/2π. Porém, o gabarito parece simplesmente jogar esse valor (s) na fórmula do volume, como se essa altura representasse também a altura do setor (h), e eu não entendi esse raciocínio, pois, na minha cabeça, a zona é apenas a base. O que eu entendi errado?

Será que dá pra entender alguma coisa da porcaria do desenho que eu fiz? Em vermelho, a zona. Em azul, o setor. hz, altura da zona (1/2π). Obrigado.

santa mãe,

essa área de 1 m² está sobre a esfera e delimita uma calota na esfera. A área da superfície de uma calota esférica é dada por
A = 2π.R.h
onde: R = raio da esfera; h = altura da calota.
Por metáfora, se estivéssemos trabalhando no plano esse h seria a flecha de um segmento circular.

Mas queremos o volume setor esférico que define aquela área, ou seja, que contém aquela calota. O volume do setor esférico é dado por
V = (2/3).π.R².h
onde: R = raio da esfera; h = altura da calota (contida nesse volume)

Portanto é o mesmo h da calota que você usa nas duas fórmulas.

Se quiser toda a área exterior (i.e., superfície) do setor esférico, é
A₀ = (1/2).π.r.(4h + s)
onde s = diâmetro da circunferência que a calota corta da esfera.

Se necessário, faço desenhos.

Muito obrigado. Mas como eu saberia que está sobre o setor e é uma calota se está escrito que é uma zona que serve de base?

Essa é toda a confusão.

Aqui nesta questão devemos entender que aquela zona de 1 m^2 de área não é uma zona esférica mas sim que projeta no centro da esfera um setor esférico; ou seja, esta área delimitada na superfície da esfera dá origem ao setor esférico. É como se fosse uma pirâmide com a base arredondada.

Ou, visto de outra forma, a partir do centro da esfera você projeta um ângulo sólido (medição é em esterorradiano, símbolo "sr") que define uma área na superfície da esfera. É esta área que o problema disse ser uma zona de 1 m^2. O setor esférico é todo o volume desse ângulo até a superfície da esfera.

Realmente não se trata de uma calota. A calota é somente a parte abobadada do setor esférico. O setor esférico inteiro é essa calota mais o cone cujo vértice é o centro da esfera.