progressão geométrica

Considere os esboços das três primeiras figuras de uma sequência com infinitas construções geométricas. O círculo da Figura 1 tem 7 dm2 de área. Cada um dos três círculos destacados na Figura 2 está inscrito em um dos losangos congruentes que compõem o hexágono regular que, por sua vez, é circunscrito por um círculo equivalente ao da figura anterior. A partir desses três círculos destacados na Figura 2, e exatamente da mesma forma com que foram construídos, foram obtidos os círculos em destaque na Figura 3.
 
Seguindo indefinidamente com esse padrão de construção, o limite da soma de todas as áreas sombreadas nas infinitas figuras dessa sequência será, em decímetros quadrados, igual a


gabarito: 16

Seja R o raio da circunferência maior. Sabemos que os raios das circunferências menores (r) da segunda figura são iguais a metade do apótema do hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio R. Como o apótema mede (R . raiz de 3) / 2 então r = (R . raiz de 3) / 4

Pela figura 1 sabemos que pi.R2 = 7
A área total das 3 circunferências da segunda figura será 3.pi.r2 = 3.pi.(3R2/16)
Logo a área total das 3 circunferências da segunda figura é 63/16

Podemos perceber que o mesmo raciocínio se repete nas próximas figuras e que as áreas sombreadas das figuras 1,2,3... obedecem a uma PG de razão 9/16

Assim, a área total será: S = a1/(1-q)
S = 7/(1-9/16) = 7/(7/16) 

S = 16 dm2