(PUC-RJ) Geometria
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(PUC-RJ) Geometria
por Renato479 Seg 20 Abr 2020, 14:38
(PUC-RJ) Seja ABC um triângulo equilátero de área 30 cm². Seja PQR, com P no lado BC, Q no lado CA e R no lado AB, outro triângulo equilátero. Dado que o ângulo CPQ é reto, determine:
a) os ângulos AQR e BRP;
b) a área do triângulo PQR.
a) os ângulos AQR e BRP;
b) a área do triângulo PQR.
Renato479- Iniciante
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Re: (PUC-RJ) Geometria
por Rory Gilmore Seg 20 Abr 2020, 15:17
a) O ângulo CQP = 30 graus.
AQR = 180 - 60 - 30
AQR = 90 graus.
ARQ = 30 graus vide informação obtida acima.
b) Por congruência de triângulos ALA os três triângulos retângulos são congruentes.
Seja L o lado do triângulo equilátero menor e utilizando relações trigonométricas nos triângulos retângulos vamos calcular em função de L o lado do triângulo equilátero maior:
sen 60 = L/x
√3/2 = L/x
x = 2.L.√3/3
tg 30 = y/L
√3/3 = y/L
y = L.√3/3
O lado do triângulo maior é (x + y) = 2.L.√3/3 + L.√3/3
x + y = L.√3
Pela expressão da área do triângulo equilátero maior: 30 = (L.√3)².√3/4
30 = L².3.√3/4
L².√3/4 = 10 cm²
Porém L².√3/4 é a área do triângulo equilátero menor que corresponde a 10 cm².
AQR = 180 - 60 - 30
AQR = 90 graus.
ARQ = 30 graus vide informação obtida acima.
b) Por congruência de triângulos ALA os três triângulos retângulos são congruentes.
Seja L o lado do triângulo equilátero menor e utilizando relações trigonométricas nos triângulos retângulos vamos calcular em função de L o lado do triângulo equilátero maior:
sen 60 = L/x
√3/2 = L/x
x = 2.L.√3/3
tg 30 = y/L
√3/3 = y/L
y = L.√3/3
O lado do triângulo maior é (x + y) = 2.L.√3/3 + L.√3/3
x + y = L.√3
Pela expressão da área do triângulo equilátero maior: 30 = (L.√3)².√3/4
30 = L².3.√3/4
L².√3/4 = 10 cm²
Porém L².√3/4 é a área do triângulo equilátero menor que corresponde a 10 cm².
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Re: (PUC-RJ) Geometria
por Medeiros Ter 21 Abr 2020, 02:39
Vou aproveitar o desenho da Rory para apresentar outro modo.
Já até antevejo que terei problemas e serei cobrado para "provar" que os baricentros dos dois triângulos são coincidentes -- o que me fez retardar está resposta --, contudo para aqueles a quem isto for evidente, talvez seja proveitoso.
obs: os ângulos marcados são de 60°, os não marcados são de 30°.
Já até antevejo que terei problemas e serei cobrado para "provar" que os baricentros dos dois triângulos são coincidentes -- o que me fez retardar está resposta --, contudo para aqueles a quem isto for evidente, talvez seja proveitoso.
obs: os ângulos marcados são de 60°, os não marcados são de 30°.
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