Probabilidade Reta em Circunferência

por mkrause Ter 17 Mar 2020, 19:05

Olá.

Dado um círculo perfeito em um plano, é inserido de maneira aleatória dois pontos (A e B) tangentes ao círculo.
Qual a probabilidade da reta que contém A e B também conter o centro do círculo (ponto C)?

obs: utilizando o conjunto dos números Reais.

-----------

De início imaginei que para a reta conter os pontos A, B e C, os pontos A e B devem estar opostos no círculo e assim ter a distância equivalente ao diâmetro do círculo, pois a reta que contém o centro C é o diâmetro ~o maior comprimento de reta possível em um círculo.

Em seguida, começei a pensar nas distâncias entre os pontos, que podem variar de 0 (pontos no mesmo lugar) ao diâmetro (A e B opostos). Mas por se tratar de números reais, existem infinitas possibilidades de distâncias. Então a probabilidade seria 1 entre um conjunto infinito (o que creio eu que não seja impossível) para a distância ser válida.

Pensando mais adiante, existem infinitas possibilidades que formam uma mesma distância.

Eu realmente não faço idéia. Alguém conhece alguma coisa que possa ajudar? Realmente pensei de uma maneira lógica?

por **Emanuel Dias** Sex 27 Mar 2020, 07:09

Pensei em um modo que talvez seja interessante, se alguém conseguir continuar:

Probabilidade Reta em Circunferência Scree287

Em uma circunferência qualquer, desenhei os eixos ortogonais com a origem passando no centro.

a resolução do problema se resume em, qual a probabilidade de A, B e C serem colineares? Ou ainda, qual a probabilidade de o determinante de os três pontos ser igual a 0?

Probabilidade Reta em Circunferência Scree288

Probabilidade Reta em Circunferência Scree289

O problema é descobrir a probabilidade desses produtos serem iguais.O espaço amostral seria todos os valores que quebram a igualdade e que são soluções, os eventos favoráveis somente as soluções, não sei se da para sair disso.

Alguém poderia resolver?

Essa questão me lembrou da famosa questão da PUTNAM.

De onde tirou essa questão?

por RavenaAaaaa Sex 27 Mar 2020, 09:33

não acho que o que vou fazer esteja certo, mass
eu acho que tem que usar o conceito de espaço contínuo.(não sei muito sobre)
primeiro vou considerar essa pergunta:
escolhendo aleatoriamente três pontos distintos de uma circunferência, qual a probabilidade de eles serem vértices de um triângulo retângulo?

Probabilidade Reta em Circunferência Img_7110

temos esses dois arcos:
m+n=180°
e tais restrições:

Probabilidade Reta em Circunferência Img_7112

e ficamos com esse gráfico mxn

Probabilidade Reta em Circunferência Img_7111

área total= 180.180.1/2
área pintada(que tem as restrições)= (270√2) .90.1/2
ψ=razão entre as áreas

ψ= 3/4 . √2

então essa é a probabilidade de de três pontos de uma circunferência formarem um triângulo retângulo
mas sempre que esse triângulo é formado, temos certeza que tem uma reta que passa por A,B,C.
então a probabilidade é a mesma.

Emanuel, achei a ideia maneira, mas não sei como continuar com o que vc fez.
mkrause, pensando sem fazer nenhuma conta, também parece que é infinita mesmo, mas não sei, não tem gabarito?

por **Emanuel Dias** Sex 27 Mar 2020, 16:48

RavenaAaaaa escreveu:não acho que o que vou fazer esteja certo, mass
eu acho que tem que usar o conceito de espaço contínuo.(não sei muito sobre)
primeiro vou considerar essa pergunta:
escolhendo aleatoriamente três pontos distintos de uma circunferência, qual a probabilidade de eles serem vértices de um triângulo retângulo?

temos esses dois arcos:
m+n=180°
e tais restrições:

e ficamos com esse gráfico mxn

área total= 180.180.1/2
área pintada(que tem as restrições)= (270√2) .90.1/2
ψ=razão entre as áreas

ψ= 3/4 . √2

então essa é a probabilidade de de três pontos de uma circunferência formarem um triângulo retângulo
mas sempre que esse triângulo é formado, temos certeza que tem uma reta que passa por A,B,C.
então a probabilidade é a mesma.

Emanuel, achei a ideia maneira, mas não sei como continuar com o que vc fez.
mkrause, pensando sem fazer nenhuma conta, também parece que é infinita mesmo, mas não sei, não tem gabarito?

Bonita a ideia do triangulo retângulo. Eu dei uma pesquisada e descobri que um cara fez um algoritmo que calcula a probabilidade para a questão da PUTNAM do tetraedro com determinantes, talvez a minha solução só saia por computador.

por RavenaAaaaa Sex 27 Mar 2020, 17:20

não conheço essa questão(putnam), pode mandar aqui?
eu achei sua solução mais criativa e segura, eu não sei se aquela parte do gráfico está certa, se a área total é um quadrado 180x180 ou aquele triângulo mesmo.

por **Emanuel Dias** Sex 27 Mar 2020, 18:53

RavenaAaaaa escreveu:não conheço essa questão(putnam), pode mandar aqui?
eu achei sua solução mais criativa e segura, eu não sei se aquela parte do gráfico está certa, se a área total é um quadrado 180x180 ou aquele triângulo mesmo.

Eu gostei mais da sua solução.

https://www.youtube.com/watch?v=OkmNXy7er84 Grant fez um video sobre, se não me engano é da prova de 1992.

Ele inclusive começa com a resolução em 2D parecido com o que você pensou.

por RavenaAaaaa Sex 27 Mar 2020, 19:29

ah simmm, conheço esse vídeo. perguntei essa questão a uma fonte bem confiavél e a resposta é zero kkkkk

-Probabilidade de uma reta passando por A ser diâmetro

i) Sem perda de generalidade, fixamos um ponto A na circunferência e escolhemos outro ponto para ser B.
ii) B é único para que AB seja diâmetro.
iii) Para que B seja diferente tal que AB não seja diâmetro, teríamos que o lugar geométrico de AB seria uma corda.
iv) O lugar geométrico que temos fixando A e variando B, é a própria área da circunferência, somatório das cordas + diâmetro
v) O lugar geométrico para que AB seja diâmetro é uma reta.
vi) A área de uma reta essencialmente é nula.
vii)ψ= área do diâmetro/ área da circunferência
então por vi) , temos que ψ=0

Então a princípio existe um caso, mas essencialmente é zero, pois é um único caso dentro de um espaço amostral infinito.

por **Emanuel Dias** Sex 27 Mar 2020, 19:51

RavenaAaaaa escreveu:ah simmm, conheço esse vídeo. perguntei essa questão a uma fonte bem confiavél e a resposta é zero kkkkk

-Probabilidade de uma reta passando por A ser diâmetro

i) Sem perda de generalidade, fixamos um ponto A na circunferência e escolhemos outro ponto para ser B.
ii) B é único para que AB seja diâmetro.
iii) Para que B seja diferente tal que AB não seja diâmetro, teríamos que o lugar geométrico de AB seria uma corda.
iv) O lugar geométrico que temos fixando A e variando B, é a própria área da circunferência, somatório das cordas + diâmetro
v) O lugar geométrico para que AB seja diâmetro é uma reta.
vi) A área de uma reta essencialmente é nula.
vii)ψ= área do diâmetro/ área da circunferência
então por vi) , temos que ψ=0

Então a princípio existe um caso, mas essencialmente é zero, pois é um único caso dentro de um espaço amostral infinito.

Meu deus, que plot twist absurdo, além de ser bem estranho. Super interessante.

Existe o caso que isso ocorre mas mesmo assim a probabilidade é zero, não sei lidar com isso kkk. Quero mais problemas nesse estilo.