prova matricial

por **Emanuel Dias** Qua 04 Mar 2020, 01:20

Prove que se A^T\cdot A=0 \Rightarrow A=0

por **fantecele** Qua 04 Mar 2020, 18:13

Vou fazer pro caso 3x3 por que fica mais fácil visualizar, no caso nxn é praticamente a mesma coisa, considerei que os elementos da matriz são reais.
Se você montar uma matriz A da forma:

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Pra A^t iremos ter:

$A^t=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}$

Quando você fizer a multiplicação $\tiny A^t.A = B$ , iremos chegar nessa matriz B com os elementos da diagonal principal:

$\\b_{11}=a_{11}^2+a_{21}^2+a_{31}^2=0\\b_{22}=a_{12}^2+a_{22}^2+a_{32}^2=0\\b_{33}=a_{13}^2+a_{23}^2+a_{33}^3=0$

Perceba que temos soma de quadrados reais dando igual a zero, então esses quadrados devem ser iguais a zero, então todos os elementos $\tiny a_{ij}$ vão ser iguais a zero, daí temos que A = 0.
Pro caso nxn é praticamente a mesma coisa, só muda que você deveria que escrever um caso "mais geral" colocando os elementos $\tiny b_{ii}$ com somatórios de $\tiny a_{ij}$ e por ai vai, mas nada muito complicado de se escrever.

por **Emanuel Dias** Qua 04 Mar 2020, 19:47

fantecele escreveu:Vou fazer pro caso 3x3 por que fica mais fácil visualizar, no caso nxn é praticamente a mesma coisa, considerei que os elementos da matriz são reais.
Se você montar uma matriz A da forma:

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Pra A^t iremos ter:

$A^t=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}$

Quando você fizer a multiplicação $\tiny A^t.A = B$ , iremos chegar nessa matriz B com os elementos da diagonal principal:

$\\b_{11}=a_{11}^2+a_{21}^2+a_{31}^2=0\\b_{22}=a_{12}^2+a_{22}^2+a_{32}^2=0\\b_{33}=a_{13}^2+a_{23}^2+a_{33}^3=0$

Perceba que temos soma de quadrados reais dando igual a zero, então esses quadrados devem ser iguais a zero, então todos os elementos $\tiny a_{ij}$ vão ser iguais a zero, daí temos que A = 0.
Pro caso nxn é praticamente a mesma coisa, só muda que você deveria que escrever um caso "mais geral" colocando os elementos $\tiny b_{ii}$ com somatórios de $\tiny a_{ij}$ e por ai vai, mas nada muito complicado de se escrever.

Entendi. Obrigado!

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