Função

02.22.2020 - Sejam a e b números naturais diferentes de zero.

1 - Se f é uma função real tal que f(a+b)=f(a)+f(b), então f(a.b)=a.f(b)
2 - Se log (a+b)=log a + log , então 1/a+1/b=1


Posso resolver essa chutando valores para a e b ?

Gabarito: 1-V, 2-V,3-F:

2) 1/a + 1/b = 1 ---> (a + b)/a.b = 1 ---> a + b = a.b

 log(a + b) = loga + logb ---> log(a.b) = loga + logb ---> Verdadeira

Mestre, provei facilmente as últimas duas, mas e a primeira, como provar ?

Tem duas formas de provar...

I)Primeira (Indução, sendo a ∈ ℕ)

*Veja que,

i) f(b) = f(b) 

ii)Para a = b, f(2b) = f(b) + f(b) = 2*f(b)

iii) Para a = 2b, f(3b) = f(2b) + f(b) = 3*f(b)

*Logo, pode-se supor que f(a*b) = a*f(b), ∀ a ∈ ℕ

*Provando para (a + 1):

f[(a+1)b] = f(a*b) + f(b) = a*f(b) + f(b)

f[(a+1)b] = (a+1)*f(b) C.Q.D.

*Portanto, f(a*b) = a*f(b), ∀ a ∈ ℕ



II)Segunda (Generalização, sendo a ∈ ℝ)

f(a + b) = f(a) + f(b)

*Dizendo que a=b=x,temos:

f(2x) = 2*f(x), ∀ x∈ℝ  ⇔ f(2x) ≡ 2*f(x)

*Podemos definir então que f(x) = a₀ + a₁*x + a₂*x² + a₃*x³ + ...

Com isso,

f(2x)   = a₀ + 2*a₁*x + 4*a₂*x² + 8*a₃*x³ + ...

2*f(x) = 2*a₀ + 2*a₁*x + 2*a₂*x² + 2*a₃*x³ + ...

*Como existe congruência, temos:

a_n = 0, ∀ n≠1

*Logo,

f(x) = a₁*x

Com isso temos, que:

f(a*b) = a₁*a*b = a*(a₁*b) = a*f(b)

f(a*b) = a*f(b), ∀ a,b ∈ ℝ