Ponto Eqüidistante

por Johnny Brazil Sex 24 Jan 2020, 12:15

Para um ponto P eqüidistante da reta x+y-2-\sqrt{2}=0 e da circunferência x^{2}+y^{2}-1=0, seja d a distância de P às duas linhas (reta e circunferência). O menor valor de d é:

a) \frac{\sqrt{2}}{2}
b) \frac{\sqrt{3}}{2}
c) \frac{1+\sqrt{2}}{2}
d) \frac{1+\sqrt{3}}{2}

por **Elcioschin** Sex 24 Jan 2020, 12:55

Reta x + y - 2 - √2 = 0 ---> Passa por A(0, 2+√2) e B(2+√2, 0)

Circunferência x² + y² - 1 = 0 ---> centro O(0, 0) e raio R = 1

A menor distância entre a circunferência e a reta, está sobre a reta y = x

Ponto C de encontro da reta y = x com a circunferência:

xC = OC.cos45º ---> xC = 1.√2/2 ---> xC = √2/2
yC = OC.sen45º ---> yC = 1.√2/2 ---> yC = √2/2

C(√2/2, √2/2)

Ponto D de encontro da s duas retas:

x + y - 2 - √2 = 0 ---> xD + xD - 2 - √2 = 0 ---> xD = 1 + √2/2

yD = 1 + √2/2 ---> D(1 + √2/2, 1 + √2/2)

Ponto médio P do segmento CD

xP = (xC + xD)/2 ---> yP = (yC + yD)/2 ---> Calcule

Complete

por JMão Sex 24 Jan 2020, 14:57

Como saber que a menor distância entre a circunferência e a reta, está na reta x=y?
Seria porque "engloba" o raio?

por **Emanuel Dias** Sex 24 Jan 2020, 15:11

JMão escreveu:Como saber que a menor distância entre a circunferência e a reta, está na reta x=y?
Seria porque "engloba" o raio?

Veja que a reta x+y-(2+\sqrt{2})=0 possui coeficiente angular -1. Portando a reta perpendicular a ela possui coeficiente angular 1. Que é a reta y=x. Lembre-se que a menor distância entre o ponto e a reta é a reta que passa por esse ponto e é perpendicular a segunda reta.

por **Emanuel Dias** Sex 24 Jan 2020, 15:18

Um desenho para esclarecer. Qualquer reta que não seja y =x (que é perpendicular a reta dada), forma com a reta y = x um triângulo retângulo onde essa reta qualquer é hipotenusa, portanto está mais distante que
y = x

por JMão Sex 24 Jan 2020, 17:22

Ah sim, entendo. Mas partindo do pressuposto que eu sei apenas o coeficiente angular da reta perpendicular à $Ponto Eqüidistante Png$ como eu acharia que a reta x=y é a perpendicular exata? Digo, desse jeito eu já assumo o ponto de origem como um ponto dessa nova reta (x=y), o que é óbvio, mas como eu sei que é essa reta?

Não sei se estou sendo claro, mas o que quero dizer é que me pareceu que foi "adivinhado" que x=y é a perpendicular procurada, visto que só pelo coeficiente não dá para chegar nela, penso eu.

por **Elcioschin** Sex 24 Jan 2020, 18:23

x + y - 2 - √2 = 0 ---> y = - 1.x + (2 - √2)

Coeficiente angular ---> m = - 1

Reta perpendicular ---> m' = 1 ---> Deve passar pela origem O(0, 0) como mostrou o colega Emanuel

y - 0 = m'.(x - 0) ---> y = x

por JMão Sex 24 Jan 2020, 18:39

Ah, deve passar pela origem. Mas não é coincidência a reta x=y, que passa pela origem, ser perpendicular a $Ponto Eqüidistante Png$ ?

por **Elcioschin** Sex 24 Jan 2020, 18:57

Existem infinitas retas perpendiculares à reta dada.
Mas, como explicou o colega Emanuel, para a distância CD ser mínima, nesta questão, a reta perpendicular deve passar pela origem. Isto acontece porque a circunferência tem centro na origem.