Equação modular

por EternoEstudante Ter 24 Dez 2019, 05:45

Resolva em R: |x - 1| + |x + 1| = 4x - 3

Eu fiz todos os casos possíveis e achei solução = {5/4, 3/2}, no entanto o gabarito é apenas S = {3/2}. Não estou conseguindo achar meu erro e irei colocar apenas onde está o problema:

Sendo o primeiro módulo negativo e o segundo positivo:

-x + 1 + x + 1 = 4x - 3
2 = 4x - 3
4x = 2 + 3
x = 5/4

Sendo a condição de existência x ≥ 3/4, por que 5/4 não entra na solução?

por Emersonsouza Ter 24 Dez 2019, 07:34

EternoEstudante escreveu:Resolva em R: |x - 1| + |x + 1| = 4x - 3

Eu fiz todos os casos possíveis e achei solução = {5/4, 3/2}, no entanto o gabarito é apenas S = {3/2}. Não estou conseguindo achar meu erro e irei colocar apenas onde está o problema:

Sendo o primeiro módulo negativo e o segundo positivo:

-x + 1 + x + 1 = 4x - 3
2 = 4x - 3
4x = 2 + 3
x = 5/4

Sendo a condição de existência x ≥ 3/4, por que 5/4 não entra na solução?

Sendo o primeiro valor negativo --> x-1<0--> x<1 (este valor deve ser menor que 1)
Sendo o segundo valor positivo--> x+1>0--> x>-1(estevalor deve ser maior que menos -1)

X deve ser tal que obedeça ambas as condições.
Para x= 5/4 , 5/4>1 (não satisfaz o primeiro caso, somente o segundo)

Ambos positivos :
X-1≥ 0--> x≥ 1
X+1≥ --> x≥ -1 ----> ambas as condiçoes devem ser satisfeitas

x-1 x+1=4x-3--> -2x= -3--> x=3/2
3/2> 1 e 3/2>-1

Portanto,3/2 é solução da equação modular.

Qualquer dúvida estamos aí!

por EternoEstudante Ter 24 Dez 2019, 17:25

Gostei muito da sua solução e passarei a fazer assim, mas tenho uma dúvida: na primeira análise por que ficou x > -1? Não deveria ser x ≥ -1?

Além disso, poderia me confirmar? Da maneira que eu faço, eu faço todos os casos possíveis e defino a condição logo no início, ou seja, ficaria x ≥ 3/4 (o que elimina algumas soluções). Mas se eu fizer dessa maneira, além de atender a esta condição, eu deveria de verificar se o x satisfaz à igualdade?
Ou seja:
Para x = 5/4:
10/4 = 2 >> falso

Seria esse o erro que cometi? (De não verificar se o x atende à igualdade)

por **Elcioschin** Qua 25 Dez 2019, 11:29

Sim, deve-se analisar cada intervalo e checar se o valor encontrado de x atende

|x - 1| + |x + 1| = 4.x - 3 ---> Invertendo os módulos: |x + 1| + |x - 1| = 4.x - 3

Raízes respectivas dos módulos: x = -1 e x = 1

Existem três intervalos: x < - 1 , -1 < x < 1 , x > 1

1) Para x < -1 ---> - (x + 1) - (x - 1) = 4.x - 3---> - 2.x = 4.x - 3 ---> x = 1/2 ---> Não serve pois x < - 1

2) - 1< x < 1 ---> + (x + 1) - (x - 1) = 4.x - 3 ---> 4.x = 5 ---> x = 1,25 ---> Não atende pois está fora do intervalo

3) x > 1 ---> + (x + 1) + (x - 1) = 4.x - 3 ---> 2.x = 4.x - 3 ---> x = 3/2 ---> OK