Iezzi - Função de segundo grau

por Alysonaa Dom 22 Dez 2019, 19:10

Determine os valores de m ∈ ℝ para os quais o domínio da função f(x) = \frac{1}{2x^2-mx+m} é o conjunto dos reais

Lembrando que: 2x²-mx+m estão abaixo de uma raiz quadrada, não consegui colocá-la no latex.

Consegui achar as duas raízes, 0 e 8, mas não sei o porquê da resposta.

R = 0 < m < 8

Agradeço desde já.

por Emersonsouza Dom 22 Dez 2019, 23:00

1/V(2x²-mx+m)
V(2x²-mx+m)≠0 --> 2x²-mx+m≠0 ,pois o denominador da fração não pode ser nulo.

e SIMULTANEMENTE 2x²-mx+m>0 ,pois a raiz quadrada de número negativo não pertence aos reais.

2x²-mx+m≠0 --> ∆ <0--> m^2-8m<0
Calculando as raízes
m=8 ou m=0
Como o coeficiente a é 1 , temos uma concavidade voltada para cima ,logo, para m^2-8m<0 --> 0< m <8
Veja o gráfico que eu fiz para ilustrar[size=37].[/size]

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por Luciano Augusto Seg 23 Dez 2019, 09:23

Emersonsouza escreveu:1/V(2x²-mx+m)
V(2x²-mx+m)≠0 --> 2x²-mx+m≠0 ,pois o denominador da fração não pode ser nulo.

e SIMULTANEMENTE 2x²-mx+m>0 ,pois a raiz quadrada de número negativo não pertence aos reais.

2x²-mx+m≠0 --> ∆ <0--> m^2-8m<0
Calculando as raízes
m=8 ou m=0
Como o coeficiente a é 1 , temos uma concavidade voltada para cima ,logo, para m^2-8m<0 --> 0< m <8
Veja o gráfico que eu fiz para ilustrar[size=37].[/size]

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Para f(x) ser real (2.x² - m.x + m) tem que ser positivo, ou seja $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ (I), porém para raízes $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ devo ter
$Iezzi - Função de segundo grau Gif$ Como $Iezzi - Função de segundo grau Gif.latex?2.x%B2%20-%20m$ $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ (II)
Mas pensando assim eu teria $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ (I) e $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ (II) ou seja (I) Ո (II) = Ø

Fiquei com essa dúvida.

por Emersonsouza Seg 23 Dez 2019, 10:04

*O problema pede o domínio da funçao que pertença ao conjuntos dos reais .
*Em nenhum caso o delta foi maior que zero
O delta não pode ser maior ou igual a zero,pois neste caso teremos raízes e,consequentemente ,V(2x²-mx+m)=0.
*Como V(2x²-mx+m) é o denominador da fraçao nao poder ser nulo.

por Luciano Augusto Seg 23 Dez 2019, 10:38

Foi mal me atrapalhei um pouco na pergunta de cima.

Porque delta tem que ser menor que zero, não deveria ser maior que zero pois pede raízes reais ou seja (Delta > 0 e diferente de zero pois é uma fração não pode ser nulo) ---> /\ > 0 ?

por Emersonsouza Seg 23 Dez 2019, 10:40

Luciano Augusto escreveu:
Emersonsouza escreveu:1/V(2x²-mx+m)
V(2x²-mx+m)≠0 --> 2x²-mx+m≠0 ,pois o denominador da fração não pode ser nulo.

e SIMULTANEMENTE  2x²-mx+m>0 ,pois a raiz quadrada de número negativo não pertence aos reais.

2x²-mx+m≠0 -->  ∆ <0--> m^2-8m<0
Calculando as raízes
m=8 ou m=0
Como o coeficiente a é 1 , temos uma concavidade voltada para cima ,logo, para m^2-8m<0 --> 0< m <8
Veja o gráfico que eu fiz para ilustrar[size=38].[/size]

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Para f(x) ser real (2.x² - m.x + m) tem que ser positivo, ou seja $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ (I), porém  para raízes $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ devo ter
$Iezzi - Função de segundo grau Gif$ Como   $Iezzi - Função de segundo grau Gif.latex?2.x%B2%20-%20m$ $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ (II)
Mas pensando assim eu teria $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ (I) e $Iezzi - Função de segundo grau Gif$ (II) ou seja (I) Ո (II) = Ø

Fiquei com essa dúvida.

2x²-mx+m>0 --> 2x²-mx+m deve ser SEMPRE maior que zero.
∆= m^2 -8m.

A concavidade da parábola é voltada para cima ,pois a =2,logo,para
∆<0 a inequaçao 2x²-mx+m>0 será sempre verdadeira.

Para ∆>0 haverá valores de m € R que não satisfazem a condição, isso é um obstáculo pois m deve tal que 2x²-mx+m>0 (sempre) ,portanto, ∆<0.

por Emersonsouza Seg 23 Dez 2019, 10:42

Caso ainda houver alguma dúvida ,por favor, avise-me.

por Alysonaa Seg 23 Dez 2019, 18:13

Muito obrigado, Emerson e Luciano!

por Francisco+1 Sáb 28 Dez 2019, 00:24

Oii!
Tava com a mesma dúvida, achei um jeitinho diferente de ver a questão, lá vai:

É cediço que para a função:

Seja definida nos reais é preciso obedecer às duas condições postas pelo colega acima (Grande Emersonsouza), então vamos destrinchar mais ainda (lógico que vou fazer mais detalhado só para tirar dúvidas, na hora da prova você já vai direto)

Pronto, até ai o que concluimos? Não são aceitas as raízes como solução da equação uma vez que ela deve ser diferente de zero.

E obedecendo a condição da raiz ser maior do que zero. Agora sim, daqui fica mais divertido. Vamos lembrar que essa parábola apresenta um mínimo (coeficiente de "x^2" é positivo), vamos ver onde ficam...

Lembrando que nossa ordenada tem que ser menor do que zero na função abaixo (veja o sinal de "menor que") e nossa abcissa diferente das raizes.

por **Elcioschin** Sáb 28 Dez 2019, 10:32

Explicando de outro modo mais simples:

A função 2.x² - m.x + n deverá se maior do que zero: 2.x² - m.x + n > 0

Esta função é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
Para a função ser sempre positiva o gráfico dela deverá ficar acima do eixo x
Isto significa que ela NÃO tem raízes reais, isto é, ela tem raízes complexas.
Para isto devemos ter ∆ < 0 ---> m² - 8.m < 0 ---> 0 < m < 8