(Vestibular)Divisibilidade

Se n é um número natural não nulo, os números da forma (6^n -1)/5 e (5^n -1)/4 são:
a) ambos naturais
b) ambos racionais, mas não necessariamente inteiros
c) dependendo de n, um será sempre natural e o outro poderá não ser natural
d) podem ser negativos
e) um deles pode ser negativo

Cancho2008 escreveu:Se n é um número natural não nulo, os números da forma (6^n -1)/5 e (5^n -1)/4 são:
a) ambos naturais
b) ambos racionais, mas não necessariamente inteiros
c) dependendo de n, um será sempre natural e o outro poderá não ser natural
d) podem ser negativos
e) um deles pode ser negativo

Bom dia.

Potências de 6 .............. — 6 — 36 — 216 — 1296 ...
Restos das divisões por 5 — 1..... 1.........1..........1

Se subtrairmos 1 unidade de cada uma dessas potências, terminarão em 5, sendo assim multiplos de 5.

Potências de 5 .............. — 5 — 25 — 125 — 625 ...
Restos das divisões por 4 — 1.......1........1........1

Subtraindo 1 de 5, resultará em 4 (múltiplo de 4), e os demais irão terminar em 24 (múltiplo de 4).

Logo, ao subtrairmos 1 unidade de 6^n-1 e de 5^n-1, ao se dividir estes valores respectivamente por 5 e por 4, deixarão resto zero, ou seja, resultarão em números múltiplos de 5 e de 4.

Alternativa (a).

Se um número "a" deixa resto 1 quando dividido por "b", então a^n também deixará resto 1 quando dividido por "b".






Um abraço.