Uma fábrica

Em uma fábrica, o custo para produzir x unidades de um produto é dado por C(x) = x³ – 6x² + 13x + 15. Se a receita
gerada pela venda de x unidades desse produto é dada por R(x) = 28x e se o lucro em relação a este produto é dado por
L(x) = R(x) – C(x), então o valor de x que maximiza o lucro é:
 
A) 5
B) 4
C) 2
D) 1
 
Gabarito A

L(x) = 28x - x³ + 6x² -13x -15 = -x³ + 6x² +15x - 15.

Para o valor máximo: dL/dx = 0

dL/dx = -3x² + 12x + 15 = 0 -> x² -4x - 5 = 0 -> x1 = -1 e x2 = 5(Um valor de máx e um de mín)

Substituindo: L(-1) = -25. L(5) = 85. Logo 5 é nosso "máximo". A)

OBS: Uma função do 3º grau tem 2 "picos" em que ela parte de menos ou mais infinito, ao chegar em um certo x1 muda de "sentido" e depois em outro x (x2) muda de sentido novamente e segue para mais(se começou menos) ou menos( se começou mais) infinito. Por inspeção, verifica-se que para x<-1, a função "vem" do infinito positivo e descresce. Para x>-1 ela volta a crescer no sentido positivo do eixo Y até "parar" novamente, em um ponto de "máximo" (x=5) e volta a decrescer rumo ao infinito negativo. Logo, como trabalhamos com intervalos de x positivos(x>0) x=5 maxima nossa função.