Jogo bingo - combinatória

A figura apresenta uma cartela de bingo, diversão muito comum em hotéis que oferecem atividades recreativas aos hóspedes. Usualmente, a primeira coluna é preenchida com números de 1 a 15; a segunda, com números de 16 a 30; e, assim, sucessivamente, sendo a última preenchida com números de 61 a 75.



Nessas condições, quantas cartelas apresentam os números das colunas em ordem crescente e começam e terminam pelo primeiro e último números possíveis? 

A) 78 + 4.286. 
B) 1 365 + 4.3003. 
C) 78 . 286^4 . 
D) 1 365^4 . 3 003^4
E) 15^5. 14^5. 13^5 .12^5. 11^5 

gab C

Olá,

É possível que haja um caminho melhor, esse foi um pouco trabalhoso...


(*) Para as colunas 1,2,4 e 5 o número de maneiras é o mesmo, vou fazer para a primeira coluna:

1 _ _ _ 15

(i) Sendo 2 o segundo número: 1 2 _ _ 15

Há 12*11 colunas possíveis. Porém, por simetria, apenas metade dessas colunas os números são consecutivos, ou seja, há 12*11/2 colunas diferentes.

(ii) Sendo 3 o segundo número: 1 3 _ _ 15

Há 11*10 colunas possíveis. Porém, por simetria, apenas metade dessas colunas os números são consecutivos, ou seja, há 11*10/2 colunas diferentes.

(iii) Sendo 4 o segundo número: 1 4 _ _ 15

Há 10*9 colunas possíveis. Porém, por simetria, apenas metade dessas colunas os números são consecutivos, ou seja, há 10*9/2 colunas diferentes.

E isso segue, até o último caso: 2*1/2 colunas diferentes.

Somando todos os casos possíveis:

12*11/2 + 11*10/2 + 10*9/2 + 9*8/2 + ... + 2*1/2 = 286. Logo, há 286 maneiras diferentes de criarmos uma coluna.

(**) Para a coluna 3, o método é semelhante, porém, só precisamos escolher dois números, pois os números das extremidades já foram escolhidos, e não há um número central:

Há 13*12/2 = 78 colunas diferentes.

(***)

 Logo, de (*) e (**), temos que o número de cartelas possíveis é:

N = (n°maneiras de fazermos a coluna 1)*(n°maneiras de fazermos a colunas )*...*(n°maneiras de fazermos a coluna 5)

.: N = 286^4 * 78.

De fato, há uma solução bem mais simples...

Seja M = {1,2,3,...,m} e N = {1,2,3,...n}. O número de funções estritamente crescentes de M para N é   \binom{n}{m} .

Podemos aplicar esse raciocínio no nosso exercício, note:

Coluna 1 --> 1 _ _ _ 15 "n° de funções crescentes" :  \binom{13}{3} = 286

Coluna 2 --> 16 _ _ _ 30 "n° de funções crescentes" :  \binom{13}{3} = 286

Coluna 3 --> 31 _ _ _ 45 "n° de funções crescentes" :  \binom{13}{2} = 78

Coluna 4 --> 46 _ _ _ 60 "n° de funções crescentes" :  \binom{13}{3} = 286

Coluna 5 --> 61 _ _ _ 75 "n° de funções crescentes" :  \binom{13}{3} = 286

Logo, o número de cartelas diferentes é: 286^4 * 78.

Obrigada!