Geometria - encontrar os ângulos de um trapézio

por Russell99 Sex 06 Set 2019, 21:07

Um trapézio ABCD de bases BC e AD com BC < AD é tal que 2.AB = CD e ∠BAD + ∠CDA = 120◦ . Determine os ângulos do trapézio ABCD.

por **Elcioschin** Sex 06 Set 2019, 22:34

Geometria - encontrar os ângulos de um trapézio Trapzo12

BÂD = α ---> C^DA = δ

α + δ = 120º ---> sen(α + δ) = sen120º ---> senα.cosδ + senδ.cosα = √3/2 ---> I

x.senα = 2.x.senδ ---> senα = 2.senδ ---> II

II ---> sen²α = 4.sen²δ ---> 1 - cos²α = 4.(1 - cos²δ) --->cos²α = 4.cos²δ - 3 ---> III

Resolva o sistema

por **Medeiros** Sáb 07 Set 2019, 02:41

Outro modo, aproveitando o desenho do Élcio e usando lei dos cossenos e dos senos.

Geometria - encontrar os ângulos de um trapézio Scree500

por **petras** Sáb 07 Set 2019, 10:32

Outra Resolução:

Por C traçamos uma paralela ao lado AB encontrando AD em J.
∠CJD + ∠CDJ = ∠BAD + ∠CDA = 120◦ ⇒ ∠JCD = 60◦
Seja M o ponto médio de CD → ∆JCM é isósceles, pois JC = CM = x, e tem ângulo do vértice C = 60◦
Com isso o ∆JCM deve ser equilátero e teremos JM = x.
JM = CM = DM = x
∠JMD = 120◦ e ∆JMD é isósceles portanto ∠DJM = 30◦ → ∆CJD deve ser retângulo em J, o que faz com que α = 90◦ e β = 30◦
Os outros ângulos dos trapézio são ∠BCD = 150◦ e ∠CBA = 90◦

Geometria - encontrar os ângulos de um trapézio Trapez10

por **raimundo pereira** Dom 08 Set 2019, 11:36

Nao precisa fazer contas.
Nessa fig do Petras , veja que JCD é um triâng ret., cuja hipotenusa é o dobro do menor cateto , então trata-se de um triâng ret 30/60/90.

por **Medeiros** Dom 08 Set 2019, 16:57

Não, meu amigo Raimundo.
nessa figura do Petras não se vê que JCD é triâng retângulo porque a conclusão do ângulo de 90° vem somente após a análise feita pelo Petras (até a penúltima linha).

por **raimundo pereira** Dom 08 Set 2019, 17:19

Oi Medeiros,
Quando lí essa questão , já pensei em partir de um trapézio ret.
Ou o enunciado especifica o tipo de trapézio ?
Bem , optando pelo trapézio retâng e baixando a perpendicular por C sobre AD , pelo enunciado,forma-se um triâng ret de cateto x e hipot 2x, então temos o famoso triang ret 30/60/90.
Neste caso não precisamos nem da análise feita pelo Petras e nem do dado doenunciado da soma do ângs.
Sem fazer conta nenhuma vi que os ângs satisfazem plenamente o enunciado.
O objetivo sempre é procurar o caminho mais curto. Shocked