Area do Trapézio (Peru)

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Mensagem por wmatos em Ter 27 Ago 2019, 11:23

Alguém poderia me ajudar na solução desse problema:

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Mensagem por Elcioschin em Ter 27 Ago 2019, 11:32

Você esqueceu de postar o enunciado.
Lembre-se de seguir a Regra IX do fórum: o texto do enunciado deve ser digitado
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Mensagem por wmatos em Qua 28 Ago 2019, 17:47

Enviei por email o desenho do problema, pois não sei como desenhar no site. Gostaria que por favor incluisse a figura nesse espaço. Estou querendo ajuda para solução do problema.

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Area do Trapézio (Peru) Empty Imagem do problema

Mensagem por wmatos em Qua 28 Ago 2019, 18:15

Area do Trapézio (Peru) Trapez13

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Mensagem por Elcioschin em Qua 28 Ago 2019, 20:08

S = (CD + AB).AD/2

S = (CD + 8).(EA + DE)/2 

S = (CD + 8).(6 + 4)/2

S = 5.CD + 40 ---> S > 40 ---> Eliminadas A) e C)

Seja F o ponto entre A e B

BFC é um triângulo retângulo (inscrito na semi-circunferência). 
Com isto se prova que CF é perpendicular a BF e que AF = CD

OC = OE = OF - OB = R ---> BC = 2.R

Tente agora calcular CD
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Mensagem por wmatos em Qui 29 Ago 2019, 08:56

Ainda não consigo avançar, pois justamente o que falta é calcular CD, mas ainda não sei como. Obrigado.

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Mensagem por Elcioschin em Qui 29 Ago 2019, 09:56

Basta levar em conta:

Seja M o pé da perpendicular de O sobre AB: como O é ponto médio de BC, M é o ponto médio de BF

AF = CD ---> BF = AB - AF ---> BF = 8 - CD 

MB = MF = BF/2 ---> MB = MF = (8 - CD)/2 ---> MB = MF = 4 - CD/2

Agora você pode aplicar semelhança de triângulos entre CFB e OMB e Pitágoras nestes triângulos
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Mensagem por wmatos em Qui 29 Ago 2019, 10:55

Por semelhança entre CFB e OMB acho que OM=5, com Pitágoras nesses dois triângulos nada concluo. Avancei, mas agora parei novamente.

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Mensagem por Medeiros em Sex 30 Ago 2019, 02:57

O desenho está fora de proporção.

complete o círculo. tente completar a caixa.

Se BC é diâmetro então devemos ter AB = AE ----> os números dados são inadequados.
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Mensagem por wmatos em Sex 30 Ago 2019, 07:03

Obrigado, mas você está enganado. BC<>BE. Observe.

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Mensagem por wmatos em Sex 30 Ago 2019, 07:05

AB=8, AE=6 e BE=10.

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Mensagem por Medeiros em Sex 30 Ago 2019, 10:01

sim, wmatos, isso eu tinha percebido, ABE é pitagórico. Mas eu não citei BE no meu comentário anterior.
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Mensagem por wmatos em Sex 30 Ago 2019, 10:14

Você tem razão, eu me confundi ao responder. Você falou que AB=AE. AB=8 e AE=6. Desculpe.

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Mensagem por wmatos em Sex 30 Ago 2019, 10:58

Acho que consegui resolver. Segue minha solução:

Ângulo EOC = α
Lei dos cossenos em EOB: 2R2 + 2R2cos(α) = 100 (1)
cos(α) = (100 – 2R2) / 2R2 (1.1)


Lei dos cossenos em EOC: 2R2 – 2R2cos(α) = CE2 (2)


Pitágoras em EDC: CE2 = 16 + CD2 (3)


Substituindo (3) em (2): 2R2 – 2R2cos(α) = 16 + CD2 (3)
cos(α) = (2R2 – 16 – CD2) / 2R2 (3.1)


Igualando (1.1) a (3.1): (100 – 2R2) / 2R2 = (2R2 – 16 – CD2) / 2R2 (4)
4R2 – CD2 = 116 (4.1)


Pitágoras em CFB: 100 + (8 – CD)2 = 4R2 (5)


Substituindo (5) em (4.1) 100 + (8 – CD)2 – CD2 = 116




Resposta CD = 3

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Mensagem por Medeiros em Seg 02 Set 2019, 00:15

Parabéns, wmatos!
Realmente você resolveu. E na realidade o segmento AD é praticamente tangente à circunferência. Fiquei bloqueado pela proporção do desenho (o que não deveria ser empecilho) e errei minha avaliação.
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