qual o centro de massa de um arco semicircular

por Edgar Gomes Sáb 13 Jul 2019, 11:49

A figura abaixo mostra um corredor que durante todo seu comprimento é formado por arcos com formato de um semicírculo na sua parte superior. Formas circulares como está são encontradas em algumas obras mais antigas.

qual o centro de massa de um arco semicircular Forumm10

Observe a figura baixa que representa apenas a parte semicircular ao qual deve ser calculado a posição do centro de massa.

qual o centro de massa de um arco semicircular Forumm11

Qual seria a posição do centro de massa dessa geometria?

A) 2R/\pi
B) R/\pi
C) 2M/\pi
D) R/2
E)R/3

por **Giovana Martins** Dom 14 Jul 2019, 16:45

\\\mathrm{1 ^{\circ}\ Teorema\ de\ Pappus-Guldin:}\\\\S=\theta y_{\mathrm{CG}}\ell\to y_{\mathrm{CG}}=\frac{S}{\theta \ell }\\\\y_{\mathrm{CG}}=\frac{4\pi R^2}{(2\pi )(\pi R)}\to \boxed {y_{\mathrm{CG}}=\frac{2R}{\pi }}

por **Giovana Martins** Dom 14 Jul 2019, 16:46

Geralmente você encontra esse teorema em livros peruanos e em livros de Cálculo I ou II.

por Edgar Gomes Dom 14 Jul 2019, 22:14

estive pesquisando um pouco sobre este teorema, continuei com algumas dúvidas. existem dois teoremas esse que você usou é para a area, mas existe o caso para o volume, no entanto, parece que eu poderia usar neste caso aqui um ou outro, mas eu tentei usar o caso do volume e deu errado por quê? outra dúvida foi a seguinte eu queria demostrar usando este teorema que para um triangulo retangulo de altura h o centro de massa fica a uma distância de h/3 da sua base, mas também não consegui fazer confused

por **Giovana Martins** Dom 14 Jul 2019, 23:52

Enunciado do 1° Teorema de Pappus-Guldin:

"Se um arco de uma curva suave localizada em um plano for girado em um ângulo θ em torno de um eixo localizado no plano e que não intercepta o arco C, a área de superfície gerada pelo arco C à medida que ele gira o ângulo θ é igual ao comprimento de C vezes o comprimento do caminho percorrido pelo centroide de C durante a rotação θ."

Enunciado do 2° Teorema de Pappus-Guldin:

"Se uma área A localizada em um plano for girada em um ângulo θ em torno de um eixo localizado no plano e que não intercepta a área A, o volume gerado pela área A à medida que ela gira o ângulo θ é igual à área A vezes o comprimento do caminho percorrido pelo centroide de A durante a rotação θ."

Não estamos trabalhando com uma área A, mas sim com um arco de semicircunferência. Quando você faz o cálculo usando o 2° Teorema de Pappus-Guldin, o que você encontra é o centro de massa de um semicírculo.

Para o triângulo retângulo de base "b" e altura "h":

\mathrm{Giro\ em\ torno\ do\ eixo\ x:}\\\\V=2\pi yS\to \frac{1}{3}\pi h^2b=2\pi y\frac{bh}{2}\to y=\frac{h}{3}