Resolva a equação

tg x + cotg x = 2 sen 6x

gabarito: S = {vazio}


Bom, fiz o seguinte:

senx/cosx + cosx/senx = 2sen6x

sen²x + cos²x = 2 sen6x(cosx.senx)
1 = 2.sen6x(cosxsenx)
1= sen 6x.2cosx.senx
1 = sen 6x. sen 2x

como: sen p + sen q = 2sen (p+q)/2 . cos (p-q)/2 e
sen p - sen q = 2 sen (p-q)/2. cos (p+q)/2

sen 6x = (sen 8x + sen 4x)/(2 cos 2x)
e
sen 2x = (sen 8x - sen 4x)/(2 cos 6x)

então..

(sen 8x + sen 4x)/ (2 cos 2x) . (sen 8x - sen 4x)/ (2 cos 6x) = 1

(sen² 8x - sen² 4x)/ (4cos 2x. cos 6x) = 1

....

E é ai que eu empaco :///

https://2img.net/r/ihimizer/img820/2715/001ufv.jpg

A imagem foi perdida. Alguém poderia resolver novamente?

tgx + cotgx =  2.sen(6.x)

senx/cosx + cosx/senx = 2.sen(6.x)

(sen²x + cos²x).senx.cosx = 2.sen(6.x)

1 = sen(6.x)(2.senx.cosx)

sen(6.x).sen(2.x) = 1 ---> Prostaférese:

(p + q)/2 = 6 ---> p + q = 12
(p - q)/2 = 2 ----> p - q = 4

p = 8 ---> q = 4

sen(8.x) + sen(4.x) = 1 ---> 2.sen(4.x).cos(4.x) + sen(4.x) = 1 --->

2.sen(4.x).√[1 - sen²(4.x)] = 1 - sen(4.x)

Eleve ambos os membros ao quadrado e obtenha uma equação: a.[sen²(4.x)]² + b.sen²(4.x) + c = 0

Calcule sen²(4.x) e depois sen(4.x) e prove que não existe solução real.

Elcioschin escreveu:tgx + cotgx =  2.sen(6.x)

senx/cosx + cosx/senx = 2.sen(6.x)

(sen²x + cos²x).senx.cosx = 2.sen(6.x)

1 = sen(6.x)(2.senx.cosx)

sen(6.x).sen(2.x) = 1 ---> Prostaférese:

(p + q)/2 = 6 ---> p + q = 12
(p - q)/2 = 2 ----> p - q = 4

p = 8 ---> q = 4

sen(8.x) + sen(4.x) = 1 ---> 2.sen(4.x).cos(4.x) + sen(4.x) = 1 --->

2.sen(4.x).√[1 - sen²(4.x)] = 1 - sen(4.x)

Eleve ambos os membros ao quadrado e obtenha uma equação: a.[sen²(4.x)]² + b.sen²(4.x) + c = 0

Calcule sen²(4.x) e depois sen(4.x) e prove que não existe solução real.

Olá Elsioschin, sou novato aqui no fórum caso cometa algum erro porfavor me orientar, queria tirar uma dúvida na parte da Prostáferese, como eu tenho sen(6x).sen(2x), não seria correto eu analisar desta maneira : -1/2[-2sen(6x)sen(2x)] ---> p + q = 12x ; p - q = 4x ----> p = 8x e q = 4x ---> -1/2[cos(8x)-cos(4x)] = 1 ? Não consegui compreender com clareza sua transformação para uma soma de senos, posso utilizar qualquer uma das relações mesmo não tendo um formato sen(p) + sen(q) = 2sen[(p+q)/2]cos[(p-q)/2] ? , se puder me elucidar ficarei grato!

Houve uma troca de cos/sen na minha solução. A fórmula geral é:

senp + senq = 2.sen[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

Neste caso deveremos ter:

sen(6.x).sen(2.x) = 1 ----> 2.sen(6.x).cos(90º - 2.x) = 2

senp + senq = 2.sen[(p + q)/2].cos[90º - 2.x)] = 2

(p + q)/2 = 6.x ---> p + q = 12.x ---> I

(p - q)/2 = 90º - 2.x ---> p - q = 180º - 4.x ---> II

I + II ---> 2.p = 180º + 8.x ---> p = 90º + 4.x ---> III

Em i ---> p + q = 12.x -> (90º + 4.x) + q = 12.x ---> q = 8.x - 90º

Obrigado pelo alerta. Tente continuar

Perfeito Elcio, segue minha resolução, por favor confiram se não fiz nenhum equívoco :

tg (x) + cotg (x) = 2 sen (6x) ---> [sen²x + cos²x]/sen(x)cos(x) = 2 sen(6x) ---> sen (6x)sen(2x) = 1 ; 1/2[2sen(6x)cos(90° - 2x)]

Fazendo p + q = 12x e p - q = 180° - 4x, temos : p = 4x + 90° e q = 8x - 90°

1/2[sen(4x + 90°) + sen(8x - 90°)] = 1 ---> 1/2[cos(8x) + cos(4x)] = 1 --->
cos (8x) + cos(4x) = 2 ---> 2cos²(4x) + cos(4x) -3 = 0

Tomando cos(4x) = t , ficamos com : 2t² + t -3 = 0 ---> t = [-1 +-(25)¹/²]/4

Logo t = 1 ou t = 3/2 (Impossível pois cos(4x) ---> -1 < cos(4x) < 1)

Fazendo t = 1 temos : cos(4x) = cos(0) ---> x = 0. Pela condição de existência da cotg(x) não possuir x = kpi, k pertence aos inteiros ---> S = conjunto vazio.

Correto.