Funções e demonstração

É uma questão de matemática discreta, mas como não temos um tópico disso acredito que em iniciação ao cálculo combina bem.

7 - Sejam g : A -> B e f: B -> C.
Mostre que se f e g são injetivas, fog é injetiva. De mesmo modo se elas são sobrejetivas, fog é sobrejetiva.

8 - Sejam as funções invertíveis f: A -> B e g: C -> A. Mostre que fog também é invertível e que a inversa de fog = inversa de g composta com a inversa de f.

Estou precisando de ajuda para resolver, eu consigo visualizar, mas não sei colocar no papel isso.
Agradeço desde já

Para conseguir "colocar no papel", é preciso saber e entender as definições de função injetiva, sobrejetiva e invertível.

7.
Se f é injetiva, significa que, para x=/=y, f(x)=/=f(y)
Ou seja, temos, f(x)=/=f(y) e g(x)=/=g(y), se x e y são diferentes.

Vejamos se fog é injetiva. Se for, ela deve satisfazer nossa propriedade.
Verifiquemos f(g(x)) =/= f(g(y)), x=/=y. Chamemos g(x)=m e g(y)=n
f(m) =/= f(n)
Como f é injetiva, se m e n forem diferentes, a desigualdade é verdadeira.
m = g(x) e n = g(y), como g é injetiva, m e n são diferentes e de fato fog é injetiva.

f: B->C é sobrejetora
g:A->B é sobrejetora
Seja h=fog
h:A->C
Deve haver um x em A tal que g(x) satisfaça qualquer y em b, e quaisquer y seja tal que f(y) satisfaça qualquer z em C.
g(x) = y, x pertencente à A. Como g é sobrejetiva, y pertence a B e satisfaz todo o conjunto B(pode ser qualquer valor de B).
f(y) = z. como f é sobrejetiva, e y pertence à B, z de fato satisfaz todo o conjunto C (Pode ser qualquer valor de C).


8. Seja h=fog
f: A->B
g:C->A 
h:C->B
h é inversível se e somente se, h for bijetiva. Usando os métodos anteriores, prove que h é bijetiva abaixo.