Divisibilidade

por Mikasa.Ackerman Ter 07 maio 2019, 23:19

Prove que se a é um número primo relativo a 6, então (a²-1) é divisível por 24.

por **fantecele** Qua 08 maio 2019, 00:31

Se a não é divisível por 6 então a não é divisível por 2 nem por 3. Sendo a não divisível por 2 então a tem a forma "a = 2k + 1", dessa forma no a² - 1 = (a + 1)(a - 1) vc tira que (2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1) = 4k(k+1), perceba que se k for par, então 4k(k+1) é divisível por 8, fazendo com que a² - 1 seja divisível por 8, mas se k não por par, então k + 1 tem que ser par (levando em consideração que "a" é diferente de 1, e portanto k é diferente de zero), dai você tira que 4k(k+1) é divisível por 8 e portanto a² - 1 é divisível por 8, em ambos casos temos que a² -1 é divisível por 8.
Sendo a não divisível por 3, então a = 3k + 1 ou a = 3k + 2, para a = 3k + 1, a² - 1 = (a - 1)(a + 1) = (3k + 1)(3k + 1 + 2) = 3k(k+1)(3k+2), dessa forma temos que o número 3k(k+1)(3k+2) é divisível por 3 e portando a² -1 é divisível por 3, se a = 3k + 2, (a - 1)(a + 1) = (3k + 2 - 1)(3k + 2 + 1) = 3(3k + 1)(k + 1), dessa forma temos que o número 3(3k + 1)(k + 1) é divisível por 3 e portanto a² -1 é divisível por 3, em todos os casos temos que a² - 1 é divisível por 3.
Sendo a² - 1 divisível por 3 e por 8, temos que a² - 1 é divisível por 24.

Espero que não tenha ficado confuso isso, estou muito cansado, ai saiu isso ai, mas a resolução se baseia apenas em separar nas possíveis formas que possui o número "a" e depois substituir em a² - 1 e mostrar que é divisível por 3 e por 8 separadamente.

por Mikasa.Ackerman Sáb 11 maio 2019, 06:02

Entendi a logica!

So na entendi essa parte:

"Sendo a não divisível por 3, então a = 3k + 1 ou a = 3k + 2, para a = 3k + 1, a² - 1 = (a - 1)(a + 1) = (3k + 1)(3k + 1 + 2) = 3k(k+1)(3k+2)"

O desenvolvimento nao seria (3k)(3k+2)?