Teorema Fundamental da Aritmética

por **abelardo** Dom 24 Jul 2011, 13:15

Retirado da apostila da OBMEP, Iniciação à Aritmética.

''O método do Crivo de Erastóstenes nos mostra que dado um número natural a, existe um número primo $p_{0}$ tal que ou $a=p_{0}$ , ou a é múltiplo não trivial de $p_{0}$ ; isto é, $a=p_{0}a_{1}$ , com $1<a_{1}<a$ .

Se a segunda possibilidade é verificada, segue que existe um número primo $p_{1}$ , tal que ou $a_{1}=p_{1}$ , ou $a_{1}=p_{1}a_{2}$ , onde $1<a_{2}<a_{1}<a$ . Assim, $a=p_{0}p_{1}$ ou $a=p_{0}p_{1}a_{2}$ .

Continuando a argumentação para $a_{2}$ , temos que $a=p_{0}p_{1}p_{2}$ , ou $a=p_{0}p_{1}p_{2}a_{3}$ , para algum primo $p_{2}$ e $a<a_{3}<a_{2}<a_{1}<a$ .

Note que desigualdades como a acima não podem continuar indefinidamente (Justifique).

Minha R/: Pelo princípio da boa ordem, já que estamos trabalhando com números naturais, temos um elemento mínimo para qualquer subconjunto de N; assim esse tipo de desigualdade tem fim. É válida a resposta?

por **Euclides** Dom 24 Jul 2011, 19:43

Oi Abelardo,

certamente o princípio da boa ordem justifica a afirmação. Essa lógica parece muito singela, mas é muito bonita, não é? Você me deixa curioso com o seu gosto por ela. É uma vocação natural, ou faz parte de algum curso que você faz?

por **abelardo** Dom 24 Jul 2011, 20:57

Sim, é muito bonita mesmo. Não faço nenhum curso, sou autodidata (se bem que o fórum eu considero como o meu mestre). Nem deveria estar estudando esse tipo de assunto, já que não é tão proveitoso para o vestibular que vou prestar (UFPE não pede conhecimento em demonstrações e teorias incomuns para o ensino médio convencional), mas como sou eu que faço o meu horário então gosto de estudar alguns tópicos de teoria dos números por lazer. Faço isso a pouco tempo, então acho tão importante/belo desmonstrar as operações básicas como a função totiente (se bem que essa é bicho louco e ainda estou pegando o conteúdo kk).