Teorema fundamental do calculo

por marcelindo3301 Qua 17 Abr 2019, 22:46

Pessoal, a algum tempo venho pensando sobre o teorema fundamental do calculo e gostaria de saber se é intuitivo para vocês que a antiderivada de uma f(x) é igual a área dessa f(x) em um determinado intervalo? Nas derivadas, por exemplo, eu consigo entender o conceito de forma intuitiva mas esse teorema fundamental do calculo não me parece fazer sentido intuitivamente...

Isso da antiderivada equivaler a área para vocês é logico? do tipo: "obvio que se eu pegar antiderivada de uma função aquilo sera igual a área dela".

por M.C. Estraveneca Sáb 20 Abr 2019, 12:17

Não é óbvio e existem poucas maneiras de intuir sobre isso. Isso faz parte de um teorema muito mais geral chamado Teorema de Stokes, no qual as fronteiras de um conjunto podem dizer como o interior se comporta. Se você parar pra pensar, é isso que ocorre no TFC.

por **Baltuilhe** Sáb 20 Abr 2019, 19:07

Boa noite!

Esta ideia abaixo está no livro do Stewart. A transcrevo abaixo, com algumas adaptações:

James Stewart - Cálculo Vol. 1 escreveu:Consideremos qualquer função contínua f com f(x)\geq 0. Então, g(x)=\int_a^x\;f(t)\;dt pode ser interpretada como a área sob o gráfico de f de a até x, como na figura abaixo.

A fim de calcular g'(x) a partir da definição de derivada, primeiro observamos que, para h>0, g(x+h)-g(x) é obtida subtraindo áreas, de forma que reste a área sob o gráfico de f de x até x+h (á área em destaque na figura abaixo). Para h pequeno, pode-se ver pela figura que essa área é aproximadamente igual à área do retângulo com altura f(x) e largura h:

Então podemos calcular a área da seguinte maneira:g(x+h)-g(x)\approx hf(x)

logo, isolando-se f(x) teremos:\boxed{\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\approx f(x)}

Intuitivamente, portanto, esperamos que:
\boxed{\boxed{g'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=f(x)}}

O fato de isso ser verdadeiro, mesmo quanto f não é necessariamente positiva, é a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.