dúvida sobre inequação modular|x-2/x+2|<3

por ierofisico Qua 24 Abr 2019, 20:49

Resolvi esta questão dessa forma, mas percebi que está errado quando fiz a verificação. Fiz algo errado? Não sei, nesse caso, como inverter o sinal maior/menor pra dar a solução de acordo com o gabarito. Agradeço quem puder esclarecer.

\left | \frac{x-2}{x+2} \right |<3
\frac{\left | x-2 \right |}{\left | x+2 \right |}<3
\left | x-2 \right |<3\left | x+2 \right |
x-2 < 3x+6 => -8 < 2x => -4 < x
ou
x-2 < -3x-6 => 4x < -4 => x < -1
S=\left \{ x\in R | -4 < x < -1, x\neq -2 \right \}

gabarito: S=\left \{ x\in R | x < -4 ou x > -1 \right \}

por GBRezende Qua 24 Abr 2019, 21:18

Isso que você fez (multiplicar por x+2 pra passar pro outro lado) estaria errado mesmo se não fosse uma inequação modular:
(x-2)/(x+2)<3 -> x-2<3(x+2) Gera soluções erradas. Pois se x+2<0, precisaríamos inverter a inequação ao multiplicar por x+2. Ou seja, pra efetuar esta multiplicação, você deveria resolver 2 casos diferentes. Sua base de inequação está prejudicada, recomendo estudar bem inequação antes de estudar inequação modular. Porém, resolverei a questão mesmo assim...

|x+2| = x+2 para x+2>0 -> |x+2|=x+2 para x>-2, |x+2|=-(x+2) para x<-2
|x-2| = x-2 para x-2>0 -> |x-2|=x-2 para x>2, |x-2|=2-x para x<2
Perceba que para -2
x<-2:
(2-x)/(-2-x)<3
(2-x-3(-2-x))/(-2-x)<0
(2x+ Cool

/(-2-x)<0
Ou numerador positivo e denominador negativo, ou numerador negativo e denominador positivo:
2x+8>0 -> x>-4
-2-x<0 -> x>-2 Logo, temos x>-2

2x+8<0 -> x<-4
-2-x>0 -> x<-2 Logo, temos x<-4
Unindo, temos x<-4 ou x>-2. Porém, como estamos analisando apenas x<-2:
x<-4

Para o caso -2(2-x)/(x+2)<3
(2-x-3(x+2))/(x+2)<0
(-4x-4)/(x+2)<0
Numerador positivo e denominador neg. ou numerador pos. e denominador neg.
-4x-4>0 -> x<-1
x+2<0 -> x<-2 Logo, x<-2

-4x-4<0 -> -1x+2>0 -> x>-2 Logo, x>-1
Unindo, temos x>-1 ou x<-2. Porém, como estamos trabalhando com -2x>-1

Por fim, para x>2:
(x-2)/(x+2)<3
(x-2-3(x+2))/(x+2)<0
(-2x- Cool

/(x+2)<0
Num. positivo e denom. negativo ou num. negativo e denom. positivo
-2x-8>0 -> -4>x
x+2<0 -> -2>x Logo, temos x<-4

-2x-8<0 -> -4x+2>0 -> x>-2 Logo, temos x>-2
Unindo, temos x<-4 ou x>-2. Porém, como estamos trabalhando com x>2:
x>2

Unindo os 3 resultados:
x<-4 ou x>-1, x real.

por ierofisico Qua 24 Abr 2019, 21:37

Muitíssimo obrigado pela aula e pelo alerta.

por Jessie Qua 24 Abr 2019, 21:40

Faz um quadro de sinais com o estudo das funções que estão dentro do módulo e lembre-se que:

\left | a \right | = a \Leftrightarrow a\geq 0

\left | a \right | = -a \Leftrightarrow a < 0

por joaowin3 Qua 24 Abr 2019, 21:42

Só uma observação.
O problema do ierofisico não foi quando ele multiplicou a inequação por |x+2|, afinal |x+2|>0 para qualquer x. O problema foi justamente quando tirou do módulo, onde não impôs um intervalo ao qual x pertence.