Equação quadrática

Um relatório sobre as operações de uma indústria revelou que, a um preço p, não superior a R$200,00, a mesma consegue vender 800-4p artigos semanais. Nesse relatório, consta que o custo de produção de x artigos é dado através do modelo linear 200+10x reais. Sendo assim, qual o preço p que a indústria deve cobrar para que o seu lucro seja máximo?

R: R$105,00

Renda = p(800-4p)

Custo(x)=200+10x
Custo(800-4p)=200+8000-40p=8200-40p
Lucro = Renda - custo = 800p-4p^2 -8200+40p
= -4p^2+840p-7400
Lucro máximo -> vértice 
P(vertice)=-840/(2*-4) = 105 reais.

GBRezende escreveu:Renda = p(800-4p)

Custo(x)=200+10x
Custo(800-4p)=200+8000-40p=8200-40p
Lucro = Renda - custo = 800p-4p^2 -8200+40p
= -4p^2+840p-7400
Lucro máximo -> vértice 
P(vertice)=-840/(2*-4) = 105 reais.

Alguém pode explicar melhor o raciocínio dessa questão?

É necessário interpretar o enunciado:

p é o preço de cada unidade
x é a quantidade vendida ---> x = 800 - 4.p

Valor da venda ---> V = p.x ---> V = p.(800 - 4.p) ---> V = 800.p - 4.p² ---> I

Custo de produção de x unidades:

C = 200 + 10.x ---> C = 200 + 10.(800 - 4.p) ---> C = 8 200 - 40.p ---> II

L = V - C ---> L = (800.p - 4.p²) - (8 200 - 40.p) ---> L = - 4.p² + 840.p - 8 200

Esta função é uma parábola om concavidade voltada para baixo. Seu valor máximo ocorre no vértice da parábola (pV):

pV = - b/2.a ---> pV = - 840/2.(-4) ---> pV = 105