(UFU-MG) - número de divisores

por Kelvin Brayan Qui 21 Jul 2011, 19:34

Pessoal, estou precisando urgentemente de ajuda com problemas desses tipo. Eu não estou sabendo calcular, por exemplo, número de divisores ímpares de um número, divisores múltiplos de certo valor numérico etc. Como posso aprender a resolver tais questões?

(UFU-MG) Sabendo-se que 302 400 = 64*27*25*7, pode-se concluir que o número de divisores de 302 400, que são múltiplos de 6, é igual a quanto?
Resposta: 108

AJUDEM-ME POR FAVOR!

Mad

por **abelardo** Qui 21 Jul 2011, 20:24

Pelo que entendi, a questão quer saber quantos são os divisores de 302400 que são múltiplos de 6.

$302400=2^6\cdot 3^3\cdot 5^2 \cdot 7$

$\frac{302400}{2^6\cdot 3^3\cdot 5^2 \cdot 7}=\frac{302400}{(2\cdot 3)\cdot2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot7}$

$\frac{302400}{(6)\cdot2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot7}$ , ai calculei a quantidade de divisores do número $2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot7$ , que é 108. Então podemos ''formar'' 108 números múltiplos de 6.

O gabarito está correto mesmo? Primeiro eu resolvi assim e depois usei o wolfram para fatorar 302400 e procurei todos os divisores dele que são múltiplos de 6 e também encontrei 108. Cara, não conheço método prático e generalizado para esse tipo de questão, você tendo contato com bons materias falando sobre divisibilidade pode ajudar.

por Kelvin Brayan Qui 21 Jul 2011, 20:32

Foi mal cara...

O gabarito é 108

por Kelvin Brayan Qui 21 Jul 2011, 20:33

Valeu!

Mas, ainda eu não aprendi a resolver esses tipos de exercícios. Faz mais de 4 meses que tento resolvê-los, mas não consigo de jeito nenhum.

por **abelardo** Sex 22 Jul 2011, 07:03

Estudar o assunto sobre divisibilidade por bons materiais vai te ajudar mesmo. Indico:

Praticando a Aritmética - José Carlos Admo Lacerda
Matemática Para Admissão nos Colégios Militares do Brasil
Apostila de Iniciação à Aritmética - Você encontra no site da OBMEP

Os materiais acima podem ser lidos paralelamente. Existe ainda um livro top de linha, Introdução à Teoria dos Números - José Plinio de Oliveira Santo, mas, acho eu né, que esse livro só deve ser utilizado com um bom embasamento ( é usado em curso de nível superior).

por **aryleudo** Sex 22 Jul 2011, 08:02

Pelo que entendi, a questão quer saber quantos são os divisores de 302400 que são múltiplos de 6.

[302400=2^6\cdot 3^3\cdot 5^2 \cdot 7]

[\frac{302400}{2^6\cdot 3^3\cdot 5^2 \cdot 7}=\frac{302400}{(2\cdot 3)\cdot2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot7}]

[\frac{302400}{(6)\cdot2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot7}] , ai calculei a quantidade de divisores do número [2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot7] , que é 108. Então podemos ''formar'' 108 números múltiplos de 6.

O gabarito está correto mesmo? Primeiro eu resolvi assim e depois usei o wolfram para fatorar 302400 e procurei todos os divisores dele que são múltiplos de 6 e também encontrei 108. Cara, não conheço método prático e generalizado para esse tipo de questão, você tendo contato com bons materias falando sobre divisibilidade pode ajudar.

Aproveitando a carona do companheiro Aberlardo

Para que o número seja múltiplo de 6 deve ser "6 vezes alguém". Concorda?

Do 302 400 = 2⁶x3³x5²x7¹ = 6x2⁵x3²x5²x7¹. Agora basta você aplicar o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) no expoente de "2", "3", "5" e "7". Assim

2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
Temos 6 possibilidades para o número 2.

3⁰ = 1
3¹ = 3
3² = 9
Temos 3 possibilidades para o número 3.

5⁰ = 1
5¹ = 5
5² = 25
Temos 3 possibilidades para o número 5.

7⁰ = 1
7¹ = 7
Temos 2 possibilidades para o número 7.

Assim:
6x3x3x2 = 108.

por Kelvin Brayan Sex 22 Jul 2011, 12:43

Ahhh entendi...

Valeu mesmo Aryleudo e Abelardo.

Very Happy

Estou muito feliz por ter conseguido aprender!

Cara... agora, vamos supor que nesse exercício pedisse o número de divisores pares de 302 400 e o número de divisores múltiplos de 10.

por **abelardo** Sex 22 Jul 2011, 13:49

Seja $N=a^\alpha\cdot b^\beta\cdot c^\gamma\cdot d^\delta ...$ onde $a,b,c,d...$ são fatores primos e $a$ é um fator primo e par (2). Para determinar a quantidade de divisores de N somamos uma unidade a cada expoente de um fator primo e depois multiplicamos um pelo outro --> $(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)(\delta +1)...$

$Q_{D}=(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)(\delta +1)...$

Para determinar a quantidade de divisores ímpares de um número calcular normalmente pela fórmula desconsiderando o expoente de 2, já que é o único fator primo par $Q_{D(I)}=(\beta +1)(\gamma +1)(\delta +1)...$

Então quantos serão os divisores pares? $Q_{D}-Q_{D(I)}=Q_{D(P)}$

$(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)(\delta +1)...{\color{Green} -}(\beta +1)(\gamma +1)(\delta +1)...$

$(\beta +1)(\gamma +1)(\delta +1)...(\alpha +1-1)$

$Q_{D(P)}=\alpha \cdot(\beta +1)(\gamma +1)(\delta +1)...$

Então para determinar a quantidade de divisores pares de um número devemos multiplicar o expoente do fator 2 pela quantidade de divisores ímpares, exemplo:

$302400=2^6\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 7$

$Q_{D(P)}=6(3+1)(2+1)(1+1)=144$

Para determinar os divisores de 302400 que são múltiplos de 10, eu faço assim (desde ontem faço assim kk):

$\frac{302400}{(2\cdot5)\cdot Q_{D(2^5 \cdot3^3^ \cdot5 \cdot7)}}$

Todos os divisores de $Q_{D(2^5 \cdot3^3^ \cdot5 \cdot7)}$ também são divisores de 302400. Veja que todos os divisores dele quando multiplicados por 10 dividem 302400... o menor divisor de $Q_{D(2^5 \cdot3^3^ \cdot5 \cdot7)}$ é 1 e o maior é $2^5 \cdot3^3^ \cdot5 \cdot7$ e quando multiplicados por 10 dá, respectivamente, 10 (10*1=10) e 302400 (10* $2^5 \cdot3^3^ \cdot5 \cdot7$ =302400) percebeu como é a resenha? Qualquer coisa é só perguntar..