Cálculo de Limites

por Gregorio Tomas S Gonzaga Ter 26 Mar 2019, 11:57

Pessoal, estou precisando de ajuda no cálculo desse limite e não pode ser por L'Hopital

\lim_{x\rightarrow a^n }\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}

por **Elcioschin** Ter 26 Mar 2019, 11:58

E o enunciado?

por Gregorio Tomas S Gonzaga Ter 26 Mar 2019, 12:04

Elcioschin escreveu:E o enunciado?

acabei de colocá-lo!

por **Giovana Martins** Ter 26 Mar 2019, 16:46

Eu não posso resolver o exercício agora, mas segue uma dica que eu acho que irá te levar à resposta: faça x=yⁿ. Assim, quando "x" tende a "aⁿ", y tende a "a". Depois é só fatorar e simplificar o termo "y-a" do numerador e do denominador.

por **Giovana Martins** Ter 26 Mar 2019, 22:57

\\\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=\lim_{y\to a}\frac{y^n-a^n}{y-a}\\\\\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=\lim_{y\to a}\frac{(y-a)(y^{n-1}+y^{n-2}a+y^{n-3}a^2+...+a^{n-1})}{y-a}\\\\\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=\lim_{y\to a}\left (y^{n-1}+y^{n-2}a+y^{n-3}a^2+...+a^{n-1} \right ),y\neq a\\\\\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=\underset{n}{\underbrace{a^{n-1}+a^{n-1}+a^{n-1}+...+a^{n-1}}}\ \therefore \ \boxed {\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=na^{n-1}}

por Gregorio Tomas S Gonzaga Qua 27 Mar 2019, 09:35

Giovana Martins escreveu:
\\\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=\lim_{y\to a}\frac{y^n-a^n}{y-a}\\\\\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=\lim_{y\to a}\frac{(y-a)(y^{n-1}+y^{n-2}a+y^{n-3}a^2+...+a^{n-1})}{y-a}\\\\\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=\lim_{y\to a}\left (y^{n-1}+y^{n-2}a+y^{n-3}a^2+...+a^{n-1} \right ),y\neq a\\\\\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=\underset{n}{\underbrace{a^{n-1}+a^{n-1}+a^{n-1}+...+a^{n-1}}}\ \therefore \ \boxed {\lim_{x\to a^n}\frac{x-a^n}{\sqrt[n]{x}-a}=na^{n-1}}

Giovana Martins, sua ideia foi simples e eficaz, o que torna a explicação muito bonita.

Muito obrigado!

por FalcolinoSheldon Qui 28 Mar 2019, 11:29

Olá, não entendi a partir da divisão de polinômios(acho).
Como esta parte: $$lim_{x\to a} \dfrac{y^n - a^n }{y -a }

resultou nisso: lim_{y \to a} \dfrac{(y -a)(y^{n-1} + y^{n-2}a + y^{n-3}a^2 + ... + a^{n-1} )}{y -a}