Combinatória e princípio de Dirichlet

Considere oito números naturais distintos, que não excedam 15. É possível garantir que, pelo menos, três pares deles têm a mesma diferença positiva?
Eu tentei calcular o número de diferenças positivas possíveis, e usar o princípio de Dirichlet generalizado "Se m pombos são colocados em n caixas, há alguma caixa com no mínimo [(m-1)/n]+1 pombos." (o colchetes indica "arredondar para baixo") em que os pombos seriam os pares possíveis dos 8 números escolhidos que resultam em diferenças positivas e as casas seriam os possíveis resultados dessas diferenças. Obtive que 10 < n < 14 (n inteiro), e não sei bem o que fazer pra concluir o problema (também não achei solução dessa questão).

Os  números possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

Ao invés de escrever "3 pares deles" vou escrever "3 casais" para não confundir com números pares

São 7 números ímpares e 7 números pares

Possibilidades de escolher 8 deles:

Ímpares - Pares
.... 7 ......... 1 ---> 3 casais ímpares com |∆| = 2 ---> OK
.... 6 ......... 2 ---> 3 casais ímpares com |∆| = 2 ---> OK
.... 5 ......... 3 ---> 3 casais sendo 1 par e 1 ímpar: |∆| = 1 ---> OK
.... 4 ......... 4 ---> 3 casais sendo 1 par e 1 ímpar: |∆| = 1 ---> OK
.... 3 ......... 5 ---> 3 casais sendo 1 par e 1 ímpar: |∆| = 1 ---> OK
.... 2 ......... 6 ---> 3 casais pares com |∆| = 2 ---> OK
.... 1 ......... 7 ---> 3 casais pares com |∆| = 2 ---> OK

Dá para garantir