Complexos

por lcvf9696 Qui 14 Mar 2019, 06:00

Sabendo que cosθ=1/5,então o valor da expressão
$Complexos %7B2%5En%7D$ vale:

A) 2/7 B) 3/7 C) 4/7 D) 5/7 E) 6/7

Gab:E

por **Elcioschin** Qui 14 Mar 2019, 13:45

Para n = 0 ---> cos(0.θ)/2⁰ = 1/1 = 1

Para n = 1 ---> cos(1.θ)/2¹ = (1/5)/2 = 1/10

Para n = 2 ---> cos(2.θ)/2² = (2.cos²θ - 1)/4 = [2.(1/5)² - 1)]/4 = - 23/100

Para n = 3 ---> cos(3.θ)/2³ = (4.cos³θ - 3.cosθ)/8 = - 71/1000

Tente descobrir a lei de formação para a série

por **fantecele** Qui 14 Mar 2019, 14:06

Uma maneira que se pode fazer eu acho que seria assim,mas estou em aula agora, então está um pouco ruim pra resolver aqui.
Use a idéia de que:
k^n*cos(nx) + i*k^n*sen(nx) = k^n*cis(x)^n = (kcis(x))^n
Daí você aplica soma de PG e depois iguala parte real com parte real.

por **fantecele** Qui 14 Mar 2019, 18:56

$\\A=\frac{cos(0)}{2^0}+\frac{cos(\theta)}{2^1}+\frac{cos(2\theta)}{2^2}+...+\frac{cos(n\theta)}{2^n}\\\\B=\frac{sen(0)}{2^0}+\frac{sen(\theta)}{2^1}+\frac{sen(2\theta)}{2^2}+...+\frac{sen(n\theta)}{2^n}\\\\A+iB=\frac{cis(0)}{2^0}+\frac{cis(\theta)}{2^1}+\frac{cis(2\theta)}{2^2}+...+\frac{cis(n\theta)}{2^n}\\\\A+iB=\left (\frac{cis(0)}{2^0} \right )+\left (\frac{cis(\theta)}{2} \right )^1+\left (\frac{cis(\theta)}{2} \right )^2+...+\left (\frac{cis(\theta)}{2} \right )^n$
$\\\\A+iB=\left (\frac{cis(0)}{2^0} \right )+\left (\frac{cis(\theta)}{2} \right )^1+\left (\frac{cis(\theta)}{2} \right )^2+...+\left (\frac{cis(\theta)}{2} \right )^n\\\\A+iB=1.\left ( \frac{1-\left (\frac{cis(\theta)}{2} \right )^{n+1}}{1-\left (\frac{cis(\theta)}{2} \right )} \right )$

Agora aqui é braçal, desenvolve tudo ali e iguala parte real com parte real. Não tenho muita certeza do meu desenvolvimento daqui pra frente, mas chegou no resultado ta valendo.

Depois de desenvolver tudo e igualar real com real, iremos chegar em:

$\\A=\frac{2^{n+2}-2^{n+1}cos(\theta)-2cos((n+1)\theta)+cos(n\theta)}{2^n(5-4cos(\theta))}\\\\A=\frac{2^{2}-2cos(\theta)}{(5-4cos(\theta))}-\frac{2cos((n+1)\theta)-cos(n\theta)}{2^n(5-4cos(\theta))}$

Queremos que n tenda ao infinito, dai é fácil ver que aquela parte que está dividida pelo 2^n tende a 0 quando n tende ao infinito, pois o numerador é uma subtração de cossenos e portanto finita, já o denominador temos um 2^n que tende ao infinito quando n tende ao infinito, e portanto aquilo é 0, restando apenas:

$\\A=\frac{4-2cos(\theta)}{(5-4cos(\theta))}\\\\A=\frac{4-\frac{2}{5}}{(5-\frac{4}{5})}=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{21}{5}}=\frac{6}{7}\\\\\sum_{n=0}^{\infty }\frac{cos(n\theta)}{2^n}=\frac{6}{7}$

por lcvf9696 Sex 15 Mar 2019, 21:18

Obrigado!!!!

por Armando Vieira Seg 27 maio 2019, 16:17

Uma dúvida, partindo desse ponto a partir da solução do amigo Fantecele:

$Complexos Gif.latex?A%20+%20iB%20%3D%20%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bcis%280%29%7D%7B2%5E%7B0%7D%7D%20%5Cright%20%29+%20%5Cleft%20%28%5Cfrac%7Bcis%28%5Ctheta%20%29%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5E1%20+%20%5Cleft%20%28%5Cfrac%7Bcis%28%5Ctheta%20%29%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5E2%20+%20..$

Só que utilizando a fórmula de soma dos termos da pg infinita:

$Complexos Gif.latex?S%20%3D%20%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7B1%20-%20q%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%201%20-%20%5Cfrac%7Bcis%5Ctheta%20%7D%7B2%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B2-cos%5Ctheta%20-%20isen%5Ctheta%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B2-cos%5Ctheta%20-%20isen%5Ctheta%20%7D%20$

Logo, finalizamos encontrando o mesmo resultado:

$Complexos Gif$

Já vi demonstrações, encontrando a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita a partir da soma dos n termos de uma PG $Complexos Gif$
pressupondo-se n tendento ao infinito, como 0 < q < 1, q tende a zero e encontra-se a fórmula.
Mas aí que eu não estou entendendo. Nesse exercício, por exemplo, como eu posso afirmar que a razão é menor que 1 se ela é um número complexo?

Não sei se a pergunta faz muito sentido, se alguém puder me dar um norte seria muito bom

por SnoopLy Dom 16 Jun 2019, 21:35

Armando, eu entendi o que você quis dizer, estava com essa mesma dúvida, caso queria procurar mais sobre isso o nome do assunto é Power Series for Complex Variables

Seja:

1+q+q^2+q^3+...+q^n=S_n

É fácil mostrar que:

S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Fazendo n tender ao infinito:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Vamos definir :

q=|z|cis\theta

Logo, se

|z|<1 \rightarrow (|z|cis\theta)^{\infty}=0

Então:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q}

por Armando Vieira Seg 17 Jun 2019, 08:15

Tava nisso a semanas, ajudou infinito!!! brigadão! cheers

por Zeroberto Qua 22 Nov 2023, 17:38

Pessoal, a resolução do livro que vi é a mesma que a do colega fantecele, mas minha dúvida é na transformação final:

Poderiam me ajudar na passagem de $ \frac{2}{2-cis\theta} $ para $ \frac{2(cos\theta - 2)}{4cos \theta - 5} $ ?

Obs: postei a resolução inteira só para não postar o print pela metade e com informações faltando.