Combinações

Num parque de campismo, há várias tendas.
Cada tenda está ligada a cada uma das outras por um caminho.
Sabendo que há 120 caminhos diferentes, quantas tendas há no parque?

Exemplo:

duas tendas -> A e B

número de caminhos: AB e BA -> 2 caminhos -> 2!

três tendas -> A, B e C

número de caminhos AB, BA, AC, CA, BC, CB -> 6 caminhos -> 3!

então:

n! = 120 => n = 5.

Gauss escreveu:Num parque de campismo, há várias tendas.
Cada tenda está ligada a cada uma das outras por um caminho.
Sabendo que há 120 caminhos diferentes, quantas tendas há no parque?

Boa tarde.

n = número de tendas

A primeira tenda se liga às outras por (n-1) caminhos.
A segunda, por (n-2) caminhos, isto para não se contar de novo as ligações entre a 1ª e as demais.
A terceira, por (n-3) caminhos.
E a penúltima, por 1 caminho.

Assim, se forem 3 tendas, o número de caminhos será igual a 2+1 = 3;
se forem 4, será igual a 3+2+1 = 6;
se forem 5, será igual a 4+3+2+1 = 10; etc

Logo, como os caminhos entre elas são em número de 120, temos:
120 = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 2 . 1, ou seja:
120 = 1+2+3+....+ (n-1).

Portanto, 120 seria a soma dos termos de uma P.A. de razão 1 e termo inicial 1:
S = (a1 + an)*n/2
120 = [1 + (n-1)]*(n-1)/2
120 = n(n-1)/2 = (n²-n)/2

n² - n = 2*120 = 240
n² - n - 240 = 0
Δ = (-1)² - 4(-240) = 1 + 960 = 961
√Δ = √961 = ±31

n = (1±31)/2
n' = (1+31)/2 = 32/2 = 16
n" (não servirá por ser raiz negativa)

Resposta: 16 tendas





Um abraço.

Olá amigo Ivomilton,

Nossa, essa foi, como sempre, bem solucionada.

Caramba, queria ter um filho assim


Abração.

Jose Carlos escreveu:Olá amigo Ivomilton,

Nossa, essa foi, como sempre, bem solucionada.

Caramba, queria ter um filho assim


Abração.

Pois é, eu também gostaria... mas não tenho.
Quase todos eles fogem desta tal de matemática

Muito Obrigado, aos dois.

Logo a solução deste problema será a soma dos termos do Triângulo de Pascal.

1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Porque se:
A primeira tenda, chamando A ,não terá caminho inicial porque não está liga a nenhuma. A
A segunda tenda B , estará por sua vez ligada há primeira tenda formado um caminho. A-B
A terceira tenda C, por sua vez ligada há tenda A e B formará mais dois novos caminhos. A-B A-C B-C

E assim por diante...

2+1 = 3;
3+2+1 = 6;
4+3+2+1 = 10
5+4+3+2+1= 15
6+5+4+3+2+1= 21

Ao fim de chegarmos a 15 linha chegamos ao resultando pretendido 120 não esquecendo que a última tenda irá ligar se por mais um caminho, chegamos há conclusão que 16 é o número total de tendas do parque que perfazem 120 caminhos diferentes.

Mais uma vez...

Obrigado aos dois!