Equação Trigonométrica
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Equação Trigonométrica
Encontrar x em sen⁴x+cos⁴x=1/2
S={x pertence aos reais|x=π/4+kπ/2, k pertence aos inteiros}
Tentei dividir a igualdade por cos⁴x, mas chego em uma equação biquadrática de solução para y negativa
S={x pertence aos reais|x=π/4+kπ/2, k pertence aos inteiros}
Tentei dividir a igualdade por cos⁴x, mas chego em uma equação biquadrática de solução para y negativa
radium226- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 117
Data de inscrição : 13/01/2019
Idade : 21
Localização : São Bernardo do Campo - SP
Re: Equação Trigonométrica
A seguir, utilizarei uma identidade provada nesta postagem: https://pir2.forumeiros.com/t156088-determinante
\\sen^4(x)+cos^4(x)=1-\frac{1}{2}sen^2(2x)=\frac{1}{2}\to sen(2x)=\pm 1\\\\\therefore \ x=-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\ \vee\ x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}
Esta resposta equivale ao seu gabarito.
Esta resposta equivale ao seu gabarito.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7645
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Equação Trigonométrica
Eu iria postar a minha solução, mas ela sumiu na hora que cliquei para publicar. Ainda bem, pois estava errada.
Bem interessante a sua solução, Giovana.
Bem interessante a sua solução, Giovana.
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Re: Equação Trigonométrica
Obrigada, Marcos.
Infelizmente não equivale, Marcos.
Da equação cos(2x)=-1/2, tem-se x=-pi/3+kpi ou x=pi/3+kpi, certo?
Para x=pi/3: sen^4(pi/3)+cos^4(pi/3)=1/2 → 5/8=1/2 (absurdo).
Para x=-pi/3, tem-se que 5/8=1/2 (absurdo).
Como a igualdade não foi verificada, naturalmente concluímos que as soluções de cos(2x)=-1/2 não são soluções da equação indicada no enunciado.
Infelizmente não equivale, Marcos.
Da equação cos(2x)=-1/2, tem-se x=-pi/3+kpi ou x=pi/3+kpi, certo?
Para x=pi/3: sen^4(pi/3)+cos^4(pi/3)=1/2 → 5/8=1/2 (absurdo).
Para x=-pi/3, tem-se que 5/8=1/2 (absurdo).
Como a igualdade não foi verificada, naturalmente concluímos que as soluções de cos(2x)=-1/2 não são soluções da equação indicada no enunciado.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7645
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Equação Trigonométrica
sensacional.
radium226- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 117
Data de inscrição : 13/01/2019
Idade : 21
Localização : São Bernardo do Campo - SP
Re: Equação Trigonométrica
É verdade. Lamentei a minha pergunta assim que eu enviei, pois havia cometido um erro besta na resolução.Giovana Martins escreveu:Obrigada, Marcos.
Infelizmente não equivale, Marcos.
Da equação cos(2x)=-1/2, tem-se x=-pi/3+kpi ou x=pi/3+kpi, certo?
Para x=pi/3: sen^4(pi/3)+cos^4(pi/3)=1/2 → 5/8=1/2 (absurdo).
Para x=-pi/3, tem-se que 5/8=1/2 (absurdo).
Como a igualdade não foi verificada, naturalmente concluímos que as soluções de cos(2x)=-1/2 não são soluções da equação indicada no enunciado.
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7645
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Equação Trigonométrica
Desculpe eu ainda tenho uma dúvida sobre a solução. Em sen 2x=+-1 pode-se igualar 2x=π/2+kπ, então, x=π/4+kπ/2 (de acordo com a resposta). Mas em sen 2x=2sen x*cos x=+-1 tem-se sen x*cos x=+-1/2 elevando a igualdade ao quadrado sen²x(1-sen²x)=1/4 sen⁴x-sen²x+1/4=0, resolvendo a equação tem-se sen x=+-sqrt(2)/2, logo x=π/4+kπ ou x=3π/4+kπ o que não esta de acordo com a resposta (kπ não está dividido por 2). Por que o resultado incorreto?
radium226- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 117
Data de inscrição : 13/01/2019
Idade : 21
Localização : São Bernardo do Campo - SP
Re: Equação Trigonométrica
O resultado não está incorreto. A diferença é no primeiro caso você partiu de um arco duplo e no segundo caso, não. No primeiro caso você tem uma equação em sen(2x) e no outro, sen(x).
Para x=π/4+kπ/2:
k=0, x=pi/4
k=1, x=3pi/4
k=2, x=5pi/4
k=3, x=7pi/4
k=4, x=9pi/4
k=5, x=11pi/4
Para x=π/4+kπ e x=3π/4+kπ:
k=0, x=pi/4, x=3pi/4
k=1, x=5pi/4, x=7pi/4
k=2, x=9pi/4, x=11pi/4
Note que as soluções são as mesmas em ambos os casos.
Apenas tenha cuidado ao elevar, por exemplo, ambos os lados de uma equação ao quadrado, porque as vezes isso pode introduzir raízes falsas na equação original. Sempre que você elevar ambos os lados de uma equação, ao final, teste todas as soluções.
Para x=π/4+kπ/2:
k=0, x=pi/4
k=1, x=3pi/4
k=2, x=5pi/4
k=3, x=7pi/4
k=4, x=9pi/4
k=5, x=11pi/4
Para x=π/4+kπ e x=3π/4+kπ:
k=0, x=pi/4, x=3pi/4
k=1, x=5pi/4, x=7pi/4
k=2, x=9pi/4, x=11pi/4
Note que as soluções são as mesmas em ambos os casos.
Apenas tenha cuidado ao elevar, por exemplo, ambos os lados de uma equação ao quadrado, porque as vezes isso pode introduzir raízes falsas na equação original. Sempre que você elevar ambos os lados de uma equação, ao final, teste todas as soluções.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7645
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
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