Geometria

O ponto P pode estar em qualquer ponto do lado AB, com exceção do ponto B
Para facilitar podemos escolher o ponto P junto com o ponto A:

pegar o ponto P sobe o ponto A é a resposta mais esperta e imediata. Mas depois de pensar muito tempo obtive resposta para um ponto P diferente de A.

Sendo AB = AC, o triângulo é isósceles de base BC.
Seja AH a altura relativa ao vértice A e seja QC o raio de uma circunferência, ela irá cortar os lados isósceles em dois pontos simétricos em relação à altura (P e P') -- note que fica atendida a condição PQ = QC -- e tambem, devido à simetria provocada pela altura AH, a circunferência passa pelo vértice B.

Temos que PP' // BC pois que os arcos BP e CP' são iguais, visto que o centro Q encontra-se sobre a altura do triângulo que é isósceles. Portanto PP'_|_ AH.
Por P' baixamos uma paralela à altura AH que encontra a circunferência em D. Como P'D // AH ----> P'D _|_ PP'. Assim, o ângulo P^P'D é reto e o segmento PD além de hipotenusa do triângulo PP'D também é diâmetro da circunferência; logo, PD passa pelo centro Q.

HÂC = α/2 porque o triângulo é isósceles e essa altura o divide exatamente ao meio.
Ora, por construção P'D // AH, então os ângulos DP'C = HÂC = α/2 (ângulos colaterais).

Como os ângulos DP'C e DPC são inscritos na mesma circunferência e vêem o mesmo arco CD, então são ângulos iguais. Logo Q^PC = α/2.