Corda de circunferência

por Gabriel lp Dom 30 Dez 2018, 11:59

Determine a reta paralela a 3x+4y=10^6 e que define, na circunferência x^2+y^2=100, uma corda de comprimento 12.

por **Mateus Meireles** Dom 30 Dez 2018, 16:09

Inicialmente, vamos determinar a equação do feixe de retas que são paralelas à \, 3x + 4y - 10^6 = 0

m = -\frac{a}{b} = - \frac{3}{4}

Daí,

y - y_{\circ} = m(x-x_{\circ})

y - y_{\circ} = - \frac{3}{4}(x-x_{\circ})

-3x - 4y + 3x_{\circ} + 4y_{\circ} = 0

Aplicando Pitágoras, para descobrir a distância do centro da circunferência até a reta r desejada, temos:

10^2=(6)^2+(d_{c,r})^2\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{d_{c,r}=8}

Utilizando esse resultado na distância entre um ponto e uma reta, tem-se:

d_{c,r}=\left|\frac{3x_{\circ} + 4y_{\circ}}{\sqrt{9 + 16}}\right|

8 =\frac{3x_{\circ} + 4y_{\circ}}{\sqrt{25}}

40 = 3x_{\circ} + 4y_{\circ} \,\,\,\to\,\,\, \boxed{x_{\circ} = \frac{40 - 4y_{\circ}}{3}}

Mas x_{\circ} pertence à circunferência,

\left(\frac{40 - 4y_{\circ}}{3}\right)^2 + (y_{\circ})^2 = 100

25y_{\circ}^2 -320y_{\circ} +700 = 0\,\,\,\to\,\,\,\ \boxed{y_{\circ} = \frac{14}{5}} \,\,\, \text{ou} \,\,\, \boxed{y_{\circ} = 10}

Portanto, uma reta que satisfaz o enunciado é:

-3x - 4y + 3(0)+ 4(10) = 0\,\,\,\to\,\,\,\boxed{\boxed{-3x -4y +40 = 0}}

A outra reta conseguimos encontrar igualando a -8 quando retirar o módulo.

Abraço

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