Demonstração de polinômio

por Gabriel lp Dom 23 Dez 2018, 16:55

a) Se n é um número interin, mostre que 3n^3+15n é múltiplo de 9.
b) Demonstre que a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.

por **Mateus Meireles** Dom 23 Dez 2018, 19:14

a)
3(k+1)^3+15(k+1) = 3(k^3 + 1 + 3k^2 + 3k) + 15(k+1)

3(k^3 + 1 + 3k^2 + 3k) + 15(k+1) = (3k^3 + 15k) + 3(6 + 3k^2+3k)

(3k^3 + 15k) + 3(6 + 3k^2+3k) = (3k^3 + 15k) + 9(2 + k^2 + k), como (3k^3 + 15k) é um múltiplo de 9 (por hipótese de indução), e 9(2 + k^2 + k) também o é, a expressão é um múltiplo de 9.

b) Desenvolva n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 e observe o que aparece.

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