Eq. Reta

Dado o pontos A , B e C , em que A possui coordenadas ( 3 , 0 ) , B e C estão sobre as retas y = 2 e y = 4 , respectivamente , e o ponto A pertence   à reta que passa por B e C. Determine  as coordenadas dos ponto B  e C, tais que a soma dos quadrados das medidas dos segmentos OB e BC seja mínima ,são,respectivamente :

a) ( - 3/2 ; 2) e ( -1 , 4)

b) (2/3 ; 2 ) e ( 0 , 4 )


c) (3/2 ;  2 ) e ( 0 ,4) GABARITO

d) (2 , 2) e ( 1 , 4 )

e) ( 1 , 2) e ( -1 , 4) 

Denote por 

Tentativa : Suponha f(x) = ax + b , a função que liga os pontos A , B e C. Do problema :   f(3) = 3a + b --> b = - 3a ( I_

f(Xb) = a*Xb + b = 2 --> a*Xb - 3a = 2 --> a(Xb - 3) = 2 (II)

f(Xc) = a * Xc + b = 4 --> a*Xc - 3a = 4 -->a(Xc - 3) = 4(III)

De II/III --> ( Xb - 3 ) *2 = Xc - 3 --> 2Xb - 6 = Xc - 3 --> Xc =2Xb - 3 ( IV)

Pela distância dos dois pontos : Dob² = Xb² + 4 (V)  e Dbc² = ( Xb - Xc)² + 4 (VI) ,  somando V e VI e usando IV : 2Xb² - 6Xb  + 17 , mas não possui solução nos Reais e agora ? Onde está o erro ? 

Grato!!

A(3, 0) ---> B(xB, 2) ---> C(xC, 4)

C pertence à reta BC

Coeficiente angular da reta BC ---> m = (yC - yB)/(xC - xB) ---> m = (4 - 2)/(xC - xB) --->
m = 2/(xC - xB)

Equação da reta BC ---> y - yB = m.(x - xB) ---> y - 2 = m.(x - xB)

A(3, 0) pertence à reta BC ---> 0 - 2 = m.(3 - xB) ---> Calcule xC em função de xB ---> I

S = OB² + OC² ---> S = [(xB - xO)² + (yB - yO)²] + [(xC - xB)² + (yC - yB)²] ---> II

I em II ---> calcule S como função do 2º grau na variável xB ---> Calcule a abcissa xB do vértice da parábola

Depois, em I, calcule xC

Olá,Sr.Elcio! Antes de começar a refazer  pela sua solução, minha tentativa acima não tem nenhum sentido ? Errei em tudo ?


Obrigado!

UP!

Sua solução é idêntica à minha e está correta

O enunciado não está pedindo os valores das raízes. Ele está pedindo o valor de xB que torna S mínimo.

Isto acontece no vértice da parábola: (xB)V = - b/2.a ---> (xB)V = - (-6)/2.2 ---> (x)V = 3/2

xC = 2.xB - 3 ---> xC = 2.(3/2) - 3 ---> xC = 0