Pirâmide Hexagonal

por LuizLMA Dom 09 Set 2018, 17:50

Calcule a aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular, sendo que esta possui aresta lateral de medida 10 cm e área lateral de 288 cm²

Resposta:

por **Elcioschin** Dom 09 Set 2018, 18:13

Seja L a aresta da base hexagonal e h a altura de cada face:

h² = 10² - (L/2)² ---> h² = 100 - L²/4 ---> I

Sl = 6.(L.h/2) ---> Sl = 3.L.h ---> Sl² = 9.L².h² ---> 288² = 9.L².(100 - L²/4) ---> Calcule L

por LuizLMA Dom 09 Set 2018, 19:25

Boa noite mestre Elcioschin, quando fiz meus cálculos cheguem ao mesmo ponto que o senhor, porém não consigo resolver essa equação 288² = 9.L².(100 - L²/4), já que quando realizada encontro um polinômio do quarto grau.

Se possível o senhor poderia postar a resolução de seus cálculos?

por LuizLMA Dom 09 Set 2018, 19:44

Elcio, utilizei um calculador de raízes polinômiais e encontrei como raízes da equação os números 16 e 12.
Realmente se testarmos 16 e 12 desdobramos a equação de forma que os resultados condizem com os dados fornecidos (as duas raízes são verdadeiras).
O que devo fazer nessa situação? Posso considerar a questão inválida?

Se eu tiver algum erro por favor corrija, desde já obrigado.

por **Elcioschin** Dom 09 Set 2018, 20:15

Você esqueceu de algo importante que aprendeu no Ensino Fundamental: as equações biquadradas

Seja a equação do 4º grau ---> a.x⁴ + b.x² + c = 0

Ela pode ser escrita assim: a.(x²)² + b.(x²) + c ---> Isto é uma equação do 2º grau na variável x²

x² = [- b ± √(b² - 4.a.c)]/2.a ---> Calcule as duas raízes x² e depois calcula as 4 raízes x

Veja depois qual das raízes tende ao problema, fazendo um teste nas equações iniciais.

por LuizLMA Dom 09 Set 2018, 20:35

O senhor tem razão, desculpe-me pelo erro, irei imediatamente revisar o assunto equações biquadradas.

por LuizLMA Dom 09 Set 2018, 20:38

Mestre, ainda me resta uma dúvida, no gabarito só consta como resposta 12, porém quando resolvo a equação biquadrada encontro duas raízes 16 e 12 que quando testadas nos dados fornecidos dão respostas coerentes.
Devo considerar a questão errada, já que temos uma solução ausente no gabarito?

por **Elcioschin** Dom 09 Set 2018, 21:11

Neste caso o gabarito está incompleto, pois as duas soluções atendem.

por **Medeiros** Dom 09 Set 2018, 21:28

Além do gabarito incompleto, entendo que a própria questão é falha pois tal pirâmide hexagonal não existe de verdade.

Há duas respostas algebricas:
L = 12 ----> h = 8
L = 16 -----> h = 6
(este h é da face triangular, a lateral)

Ocorre que numa pirâmide hexagonal regular não podemos ter a aresta lateral (no caso, 10) menor que o raio da base, senão a pirâmide não fecha. E o raio da base de um hexágono regular é igual a aresta da base; neste caso, na hipótese mais favorável, R=L=12 > 10. Com estas medidas, a pirâmide não tem altura e nem ao menos se fecha o hexágono da base.

por LuizLMA Dom 09 Set 2018, 21:42

Realmente professor Medeiros, a questão está completamente mal formulada.

Achei muito interessante sua análise no que diz respeito ao raio da base.

Por isso não paro de frequentar esse fórum, é incrível como a cada dia posso aprender coisas nova e a dedicação dos senhores em ensinar sem ganhar nada em troca, é surpreendente, muito obrigado senhores por permitirem uma comunidade assim existir.