EN 2011 - Números complexos

por **Lucas Pedrosa.** Dom 05 Ago 2018, 14:04

Sendo i = √-1, n ∈ ℕ, z=\left \{ i^{8n-5}+i^{4n-8} \right \}^{3}+2i e P(x)=-2x^{3}+x^{2}-5x+11 um polinômio sobre o conjunto dos números complexos, então P(z) vale

(A) -167 + 4i
(B) 41 + 0i
(C) -167 - 4i
(D) 41 + 2i
(E) 0 + 4i

Gabarito:

por matheus__borges Dom 05 Ago 2018, 14:57

i^{4n-8}=(i^{4})^{n-2}=1
Observe que 8n-5 é uma P.A com razão igual 8, com n termos e termo inicial igual a 3.
i^{8n-5}=i^{3+(n-1).8}=i^{3}.(i^{4})^{2(n-1)}=-i.1
Logo z vale:
(1-i)^{3}+2i=(2i).(i-1)+2i=-2
E p(z)=41 ou seja 41+0.i