poliedros/ângulos diedros - difícil!

Na realidade o problema é bem simples, desde que se faça um bom desenho e se identifique o ângulo procurado:

Um octaedro regular é constituído de duas pirâmides de base quadrada, unidas pelas bases. As arestas das bases são iguais às arestas laterais: a

Seja ABCD a base comum, V o vértice superior, V' o vértice inferior, E o ponto médio de AB e O o centro da base.
O ângulo procurado é VÊV' = θ ---> VÊO = V'ÊO = θ/2

OE = a/2

VE = a.√3/2 ---> altura do triângulo equilátero VAB

cos(VÊO) = OE/VE ---> cos(θ/2) = (a/2)/(a.√3/2) ---> cos(θ/2) = √3/3

cosθ = 2.cos²(θ/2) - 1 ---> cosθ  = 2.(√3/3)² - 1 ---> cosθ = 2/3 - 1 ---> cosθ = - 1/3 ---> θ = arccos(-1/3)

Só para complementar a resolução do mestre Élcio!

Obrigado pela figura Emerson.
Apenas um alerta para os demais usuários: o que eu denominei θ/2 na minha solução, no desenho parece como θ (logo o ângulo final, pelo desenho, seria 2.θ). E eu denominei a as arestas e no desenho parece L.

JohnnyC escreveu:Calcule a medida do ângulo diedro determinado por duas faces adjacentes de um octaedro regular.

R: arc[cos(-1/3)]

Galera, alguém sabe resolver essa questão difícil usando apenas noções de ensino médio (vestibular) ? Se não tiver como resolver, por favor, me avisem para que eu ponha um * na questão explicando que não se trata de questão à nível vestibular. Obrigado

Bem, outro jeito tambem que poderia fazer, é sabendo que, para achar o angulo de um diedro, temos de saber o plano reto a ele. Pode ser qualquer perpendicular, então:
Vamos analisar só uma piramide quadrada(ou seja metade do octaedro). A perpendicular do centro da base até uma aresta lateral, intercepta o centro deste. A projeção sobre as faces é do centro até o vertice, ou seja, é a altura. E assim, lei dos cossenos:



assim 

quando digo que este espaço vale mais do que um cursinho, eis a razão para tal.
muito obrigado, amigos!!!