Produtório de cossenos

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 15:28

Relembrando a primeira mensagem :

Demonstre a igualdade abaixo.

cos\left ( \frac{\pi }{2n+1} \right )cos\left ( \frac{2\pi }{2n+1} \right )cos\left ( \frac{3\pi }{2n+1} \right )._{...}.cos\left ( \frac{n\pi }{2n+1} \right )=\frac{1}{2^n}

por **Mateus Meireles** Sáb 28 Jul 2018, 20:23

Ele abriu a parte em vermelha usando sen(a+b) = senacosb + senbcosa. Fazendo isso, a parte direita da igualdade se torna o B proposto inicialmente, daí A = 1/2^999 ...

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 20:27

Acho que eu não fui clara na minha pergunta, Mateus. Me perdoe. Na verdade, o que eu gostaria de saber o que aconteceu da penúltima para a última linha da resolução.

por **fantecele** Sáb 28 Jul 2018, 20:35

O x é o alpha.
Foi considerado apenas do 1000x até o 1998x, os termos menores que 1000x permaneceram a mesma coisa.
Ele apenas fez "sen(k) = -sen(2∏-k)"

Um exemplo seria o -sen(2∏-1000x)=sen(1000x). Dai continuou até o 1998x.

Aquela resolução que tem na eureka é um pouco complicadinha, tem que manter a atenção para não perder nada se não já era hehe, na minha primeira vez eu demorei quase 1 hora pra entender ela kkkk, mas depois valeu a pena

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 20:43

Obrigada, Fantecele.

"Ele apenas fez "sen(k) = -sen(2∏-k)""

Ahhh, dei mole, não lembrava dessa igualdade. Triste Sad

.

Me responde uma outra coisa. Em notação de produtório aquela igualdade fica assim?

\prod_{k=1}^{n}cos\left ( \frac{\pi k}{2k+1} \right )=\frac{1}{2^n}\ ou\ \prod_{k=1}^{n}cos\left ( \frac{\pi k}{2n+1} \right )=\frac{1}{2^n}

por **fantecele** Sáb 28 Jul 2018, 21:12

A segunda, veja que o denominador seria "constante", se fosse a primeira os denominadores iriam variar, ficaria tipo: (2.1 + 1).(2.2 + 1)...(2.n + 1) (fiquei com preguiça de colocar os cos, mas tem eles kkk), o numerador também varia, já no segundo o que mudaria seria apenas o numerador, ficando igual a questão lá.

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 21:38

Entendido. Obrigada.

por **fantecele** Seg 10 Dez 2018, 15:14

Irei colocar uma resolução diferente dessa presente na Eureka.
Primeiro irei mostrar que:
$\\1+cis(\theta)=2.cos\left ( \frac{\theta}{2} \right ).cis\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

$\\1+cis(\theta)=1+cos(\theta)+i.sen(\theta)\\1+cis(\theta)=2.cos^2\left ( \frac{\theta}{2} \right )+i.2.sen\left ( \frac{\theta}{2} \right ).cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )\\\\1+cis(\theta)=2.cos\left ( \frac{\theta}{2} \right ).\left ( cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )+isen\left ( \frac{\theta}{2} \right ) \right )\\1+cis(\theta)=2.cos\left ( \frac{\theta}{2} \right ).cis\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

Agora vamos para o exercício:

$\\z^{2n+1}-1=\prod_{k=0}^{2n}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\\\(z-1)(z^0+z^1+z^2+...+z^{2n})=\prod_{k=0}^{2n}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\\\(z^0+z^1+z^2+...+z^{2n})=\prod_{k=1}^{2n}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\z=-1\\1=\prod_{k=1}^{2n}\left ( -1-cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )$
$\\1=(-1)^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left ( 1+cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\1=\prod_{k=1}^{2n}\left ( 2.cos\left ( \frac{2k\pi}{2.(2n+1)} \right ).cis\left ( \frac{2k\pi}{2.(2n+1)} \right ) \right )\\1=\prod_{k=1}^{2n}\left ( 2.cos\left ( \frac{k\pi}{(2n+1)} \right ).cis\left ( \frac{k\pi}{(2n+1)} \right ) \right )\\\\1=2^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ).\prod_{k=1}^{2n}\left ( cis\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )$

$\\\\Perceba\,\,\,que\,\,\,cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right )=-cos\left ( \frac{(2n+1-k)\pi}{2n+1} \right ),\,\,\,portanto:\\\prod_{k=1}^{n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )=(-1)^{n}\prod_{k=n+1}^{2n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\\\Dessa\,\,\,forma:$

$\\\\1=2^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ).\prod_{k=1}^{2n}\left ( cis\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\\\1=2^{2n}.(-1)^{n}\left ( \prod_{k=1}^{n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ) \right )^2.\prod_{k=1}^{2n}\left ( cis\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\|1|=\left | 2^{2n}.(-1)^{n}\left ( \prod_{k=1}^{n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ) \right )^2.\prod_{k=1}^{2n}\left ( cis\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ) \right |\\\\1=2^{2n}.\left ( \prod_{k=1}^{n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ) \right )^2$
$\\\prod_{k=1}^{n}cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right )=\frac{1}{2^n}$

Espero que esteja certo dessa forma, se deu resultado tá valendo.

Usando ideia semelhante da para encontrar o produto dos senos, basta substituir z por 1 e lembrar que:
$1-cis(\theta)=-2.i.sen\left ( \frac{\theta}{2} \right ).cis\left ( \frac{\theta}{2} \right )$