Produtório de cossenos

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 15:28

Demonstre a igualdade abaixo.

cos\left ( \frac{\pi }{2n+1} \right )cos\left ( \frac{2\pi }{2n+1} \right )cos\left ( \frac{3\pi }{2n+1} \right )._{...}.cos\left ( \frac{n\pi }{2n+1} \right )=\frac{1}{2^n}

por **Kayo Emanuel Salvino** Sáb 28 Jul 2018, 16:34

Olá Giovana,esse produtório é de n tendendo ao infinito ?
Será que pode considerar para n = 1 até n = 2 ? Se for :

cos(60°)*cos(120°)= 1/2² --> Mas cos 60° = 1/2 e cos 120° = - 1/2 --> cos(60)*cos(120)= -1/4 ?? --> diferente de 1/2² --> Errei ou o problema está errado ?

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 16:50

"Olá Giovana,esse produtório é de n tendendo ao infinito ?"

Oii. Nada é dito quanto a isto.

"Será que pode considerar para n = 1 até n = 2 ? Se for :

cos(60°)*cos(120°)= 1/2² --> Mas cos 60° = 1/2 e cos 120° = - 1/2 --> cos(60)*cos(120)= -1/4 ?? --> diferente de 1/2² --> Errei ou o problema está errado ?"

Conferi aqui e o problema está certo.

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 16:57

Acho que encontrei a ideia de demonstrar isso. Vou desenvolver e em breve eu posto.

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 17:14

Não, não vai dar certo o que eu pensei hahaha

por **fantecele** Sáb 28 Jul 2018, 17:48

A resolução disso se encontra na eureka 27, foi de lá que você pegou o exercício? Por acaso você não entendeu alguma passagem? Apesar de que tem alguma coisa lá que eu acho que não estava muito certa, não tenho certeza, faz um tempinho que não vejo como o povo lá resolveu essa questão. Vou tentar colocar a resposta aqui de qualquer forma, tenho que me ajeitar a esse látex daqui hehe.

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 17:56

"A resolução disso se encontra na eureka 27, foi de lá que você pegou o exercício?"

Ah não é possível hahaha. Tô a um tempão tentando fazer isso kkk. Não peguei de lá não. Esse daí eu peguei do Racso. Ontem eu vi o eureka 27, mas não vi essa demonstração por lá não. Já estava bem tarde. Devo ter deixado passar isso. Vou ver por lá.

por **Kayo Emanuel Salvino** Sáb 28 Jul 2018, 19:34

Giovana Martins escreveu:"Olá Giovana,esse produtório é de n tendendo ao infinito ?"

Oii. Nada é dito quanto a isto.

"Será que pode considerar para n = 1 até n = 2 ? Se for :

cos(60°)*cos(120°)= 1/2² --> Mas cos 60° = 1/2 e cos 120° = - 1/2 --> cos(60)*cos(120)= -1/4 ?? --> diferente de 1/2² --> Errei ou o problema está errado ?"

Conferi aqui e o problema está certo.

Pode mostrar as contas ? Onde errei ?

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 19:45

Kayo, página 17. Questão da OIMU-2001.

https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka_27.pdf

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 20:00

Kayo, procurando pela internet eu achei uma outra resolução para uma questão semelhante: https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=26899

Fantecele, confesso que ainda preciso estudar um pouco mais para ter um bom entendimento da resolução apresentada pelo eureka.

Procurando pela internet eu acabei achando uma questão cuja resolução é semelhante, entretanto, uma parte eu não entendi muito bem (indicado em vermelho).

\\2^{999}AB=\left[2\cos(\alpha)\cdot\sin(\alpha)\right]\cdot \left[2\cos(2\alpha)\cdot\sin(2\alpha)\right]\cdot\left[2\cos(3\alpha)\cdot\sin(3\alpha)\right]\cdots \left[2\cos(999\alpha)\cdot\sin(999\alpha)\right]\\ \\2^{999}AB=\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)\sin(6\alpha)\sin(8\alpha)\cdots \sin(1998\alpha) \\ \\ 2^{999}AB=\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)\sin(6\alpha)\sin(8\alpha)\cdots \sin(998\alpha)\\\\{\color{Red} \cdot[-\sin(2\pi-1000\alpha)[-\sin(2\pi-1002\alpha)] [-\sin(2\pi-1004\alpha)][-\sin(2\pi-1006\alpha)]\cdots [-\sin(2\pi-1998\alpha)]
}

Vocês sabem me dizer o que foi feito na parte em vermelho?