Questão do "Noções de Matemática vol.1"

por João Pedro Goulart Seg 14 maio 2018, 10:48

III.9) Considere a função quadrática definida por:

f(x) = m(x - 1)(x - 2) + 2x - 3, m diferente de 0

Determine f(1) e f(2). Concluir que a equação f(x) = 0 admite raízes distintas qualquer que seja o parâmetro m. Compare os números1 e 2 com as raízes da equação f(x) = 0.

Gabarito: f(1) = -1 e f(2) = 1
m < 0: 1 < x1 < 2 < x2
m > 0: x1 < 1 < x2 < 2

por **Elcioschin** Seg 14 maio 2018, 12:54

f(1) = m.(1 - 1).(1 - 2) + 2.1 - 3 ---> f(1) = - 1
f(2) = m.(2 - 1).(2 - 2) + 2.2 - 3 ---> f(2) = 1

Pelo teorema de Bolzano existe uma raiz no intervalo 1 < x < 2

m.(x - 1)(x - 2) + 2x - 3 = 0 --> m.(x² - 3.x + 2) + 2.x - 3 = 0 --> m.x² - (3.m - 2).x + 2.m - 3 = 0

∆ = [- (3.m - 2)]² - 4.m.(2.m - 3) ---> ∆ = m² + 4 ---> ∆ > 0 ---> Duas raízes diferentes:

x = [(2.m - 3) ± √(m² + 4)]/2.m

Complete